توزيع كوشي

توزيع كوشي

دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$\mu \,$ موقع (حقيقي) $b>0\,$ (حقيقي)
الدعم	$\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!$
د۔ك۔ح۔	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!$
د۔ت۔ت	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!$
المتوسط الحسابي	لا يوجد
الوسيط الحسابي	$x_{0}\!$
المنوال	$x_{0}\!$
التباين	لا يوجد
التجانف	لا يوجد
التفرطح	لا يوجد
الاعتلاج	$\log(\gamma )\,+\,\log(4\,\pi )\!$
د۔م۔ع	لا يوجد
الدالة المميزة	$\displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع كوشي توزيع احتمالي مستمر سمي باسم الرياضي الفرنسي أوغستين لوي كوشي ويعرف في الأوساط الفيزيائية باسم توزيع لورنتز.

الخواص

دالة الكثافة

دالة كثافته الخاصة بتوزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

$f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],$

أما بالنسبة لتوزيع كوشي القياسي حيث $x_{0}=0\,\!$ و $\gamma =1\,\!$ فتكون دالة الكثافة كالتالي:

$f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!$

أما في الفيزياء. فإن دالة لورنتز تأخذ الصيغة التالية:

$f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={I}\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],$

انظر معامل لورنتز.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

$F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$