Размеркаванне Эрланга

Размеркаванне Эрланга

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	$k\in \{1,2,3,\ldots \},$ форма $\lambda \in (0,\infty ),$ частата альтэрнатыўна: $\beta =1/\lambda ,$ маштаб
Носьбіт функцыі	$x\in [0,\infty )$
Шчыльнасць імавернасці	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}$
Функцыя размеркавання	$P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$
Матэматычнае спадзяванне	${\frac {k}{\lambda }}$
Медыяна	Няма аналітычнай формы
Мода	${\frac {1}{\lambda }}(k-1)$
Дысперсія	${\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\frac {6}{k}}$
Энтрапія	$(1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k$
Утваральная функцыя момантаў	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}$ для $t<\lambda$
Характарыстычная функцыя	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}$

Размеркаванне Эрланга — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей з ненулявой шчыльнасцю на прамені $[0,\infty )$ і двума параметрамі:

• дадатны цэлы лік $k$ — каэфіцыент формы;
• дадатны рэчаісны лік $\lambda$ — каэфіцыент частаты; часам замест яго ўжываецца $\beta =1/\lambda$ — каэфіцыент маштабу.

Размеркаванне Эрланга мае сума $k$ незалежных паказнікава размеркаваных выпадковых велічынь з матэматычным спадзяваннем, роўным $1/\lambda .$ Акрамя таго, гэта размеркаванне часу да здарэння $k$-й падзеі у працэсе Пуасона з частатой $\lambda$.

Калі $k=1$, размеркаванне Эрланга становіцца паказнікавым. Размеркаванне Эрланга — асобны выпадак гама-размеркавання з натуральным каэфіцыентам формы^:88.

Размеркаванне Эрланга было распрацавана Агнерам Эрлангам каб падлічыць колькасць званкоў, якую можна напраўляць адначасова аператарам тэлефонных станцый. Гэтая праца па вывучэнні тэлефоннага трафіку была пашырана для мадэлявання часу чакання ў разнастайных сістэмах масавага абслугоўвання. Размеркаванне таксама выкарыстоўваецца ў галіне выпадковых працэсаў.

Азначэнне

Кажуць, што выпадковая велічыня мае размеркаванне Эрланга, калі яе шчыльнасць роўная^:88

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}x^{k-1}e^{-\lambda x},&x>0,\\0,&x\leq 0.\end{cases}}$