Signum funkcija

Signum funkcija

U matematici, signum funkcija je neparna matematička funkcija koja izvači znak realnog broja. Da bi se izbjegla zabuna sa funkcijom sinus, ova funkcija ima naziv signum funkcija (od latinske riječi "signum", što znači "znak").

U matematičkim izrazima, signum funkcija se označava sa sgn.

Definicija

Signum funkcija realnog broja x je definisana kao:

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1&{\text{ako je }}x<0,\\0&{\text{ako je }}x=0,\\1&{\text{ako je }}x>0.\end{cases}}$

Osobine

Svaki realan broj se može predstaviti kao proizvod njegove apsolutne vrijednosti i njegove signum funkcije:

$x=(\operatorname {sgn} x)|x|.\qquad \qquad (1)$

Iz jednakosti (1) slijedi da, kada god x nije 0, imamo

$\operatorname {sgn} x={x \over |x|}\qquad \qquad (2)$

Signum funkcija je derivacija funkcije apsolutne vrijednosti (osim u nuli):

${d|x| \over dx}={x \over |x|}.$

Signum funkcija je diferencijabilna sa derivacijom 0 svuda osim u 0. Nije diferencijabilna u 0 u klasičnom smislu, ali pod generalizacijom diferencijala (pogledajte članak distribucija), možemo reći da je diferencijal signum funkcije dva puta Diracove delta funkcije,

${d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x).$

Signum funkcija je vezana sa Heavisideovom odskočnom funkcijom h_1/2(x):

$\operatorname {sgn} x=2h_{1/2}(x)-1,\,$

gdje indeks 1/2 odskočne funkcije označava da je h_1/2(0) = 1/2. Signum funkcija se može pisati i pomoću Iversonovih zagrada:

$\ \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.$

Za $k\gg 0$, glatna aproksimacija signum funkcije je

$\ \operatorname {sgn} x\approx \tanh(kx)\,.$

Pogledajte Heavisideova odskočna funkcija – analitičke aproksimacije.

Također pogledajte

• Apsolutna vrijednost
• Heavisideova odskočna funkcija
• Negativni i nenegativni brojevi
• Pravougaona funkcija