Kennedy, nascut a Sunderland, va debutar com a professional l'any 1972 amb el Newcastle United, equip anglès amb el qual va jugar fins al 1978, en el qual va disputar 158 partits i va marcar 9 gols. El club més important en el qual va jugar va ser el Liverpool, amb el qual va disputar 251 partits i va marcar 15 gols, i amb el qual va guanyar 5 lligues, 4 copes de la lliga, 3 supercopes i 2 Copes d'Europa, la de 1981 i la de 1984.[3][4] De fet, Kennedy es va convertir en el primer futbolista a marcar el gol de la victòria en dues finals de la Copa d'Europa, la primera el 1981 contra el Reial Madrid[5][6] i la segona el 1984 a la tanda de penals contra la Roma.[7][8] També va jugar en clubs de Dinamarca, Bèlgica i Gal·les.