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- En matematiko, duelementa aro aŭ duera aro aŭ duuma aro estas aro kun precize du malsamaj elementoj, aŭ, ekvivalente, aro kies kardinala nombro estas 2. Ekzemploj:
* Aro {1, 2} estas duelementa.
* Aro {1, 1} estas ne duelementa, ĉar ĝi estas la sama aro kiel {1}, kaj tial estas unuelementa aro. En aksioma aroteorio, la ekzisto de duelementaj aroj estas konsekvenco de la aksiomo de malplena aro kaj la . De la aksiomo de malplena aro sekvas ke ekzistas aro . De la aksiomo de parigo sekvas ke ekzistas aro, kaj tial ekzistas aro s. Ĉi tiu lasta aro havas du elementojn. (eo)
- Als Paarmenge, Zweiermenge, ungeordnetes Paar (zur Abgrenzung gegen ein geordnetes Paar) oder einfach nur Paar bezeichnet man in der Mengenlehre die durch symbolisierte Menge, die genau die Objekte und als Elemente enthält. Es gilt also: . In der älteren, naiven Mengenlehre, die noch nicht axiomatisiert war, war die Existenz einer durch extensionale Aufzählung beschriebenen Menge intuitiv gerechtfertigt. In axiomatischen Mengenlehren wird seit der Zermelo-Mengenlehre von 1907 dagegen die Existenz von Paarmengen durch ein Paarmengenaxiom gefordert. Dieses Axiom wurde in alle wichtigen Mengenlehren übernommen, beispielsweise in die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF oder die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre NBG. Dieses Paarmengenaxiom lautet in verbaler Präzisierung: Für alle A und B gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat. In prädikatenlogischer Präzisierung lautet es: Das Paarmengenaxiom ist in ZF und NBG allerdings ein redundantes Axiom, denn dort kann es aus den anderen Axiomen folgendermaßen abgeleitet werden: Man nimmt die leere Menge per Leermengenaxiom, bildet zweimal die Potenzmenge per Potenzmengenaxiom und erhält so die spezielle Paarmenge , deren Elemente per Ersetzungsaxiom durch beliebige andere Elemente ersetzt werden können. In der älteren Zermelo-Mengenlehre ohne Fraenkels Ersetzungsaxiom von 1921 war diese Ableitung noch unmöglich. Die im Paarmengenaxiom geforderte Menge ist aufgrund des Extensionalitätsaxioms eindeutig und wird in der oben angegebenen Form notiert. Über die Art der Elemente sagt das Paarmengenaxiom nichts aus. Die Objekte können variieren, je nach der gewählten Mengenlehre. Im Rahmen von ZF und NBG, die beide eine reine Mengenlehre darstellen, sind es ausschließlich Mengen, in einer Mengenlehre mit Urelementen können es auch solche sein, etwa in ZFU. Ein zusätzliches Axiom für die einelementige Menge oder Einermenge ist nicht erforderlich. Denn die Menge muss nicht unbedingt zwei verschiedene Elemente enthalten. Im Fall liegt nur eine einelementige Menge vor, da Elemente in Mengen nicht doppelt gezählt werden. Ebenso ist auch kein Axiom für größere durch Aufzählung gewonnene Mengen nötig, denn man gewinnt größere endliche Mengen sukzessive über das Vereinigungsaxiom. Alle diese Mengen mit extensionaler Aufzählung der Elemente werden also definiert: , und so weiter. (de)
- Une paire est un ensemble qui comprend exactement deux éléments. (fr)
- In mathematics, an unordered pair or pair set is a set of the form {a, b}, i.e. a set having two elements a and b with no particular relation between them, where {a, b} = {b, a}. In contrast, an ordered pair (a, b) has a as its first element and b as its second element, which means (a, b) ≠ (b, a). While the two elements of an ordered pair (a, b) need not be distinct, modern authors only call {a, b} an unordered pair if a ≠ b.But for a few authors a singleton is also considered an unordered pair, although today, most would say that {a, a} is a multiset. It is typical to use the term unordered pair even in the situation where the elements a and b could be equal, as long as this equality has not yet been established. A set with precisely two elements is also called a 2-set or (rarely) a binary set. An unordered pair is a finite set; its cardinality (number of elements) is 2 or (if the two elements are not distinct) 1. In axiomatic set theory, the existence of unordered pairs is required by an axiom, the axiom of pairing. More generally, an unordered n-tuple is a set of the form {a1, a2,... an}. (en)
- In matematica, una coppia non ordinata è un insieme della forma cioè un insieme che ha due elementi e senza nessuna particolare relazione tra loro. Diversamente una coppia ordinata ha come suo primo elemento e come suo secondo elemento. (it)
- Para nieuporządkowana – zbiór zawierający elementy i i nie zawierający żadnego innego elementu. Jego istnienie gwarantuje aksjomat pary. Jeżeli to para nieuporządkowana składa się z jednego tylko elementu. (pl)
- 二元集合為一恰有兩個不同元素的集合，或等價地說，一其勢為2的集合。 例如：
* 集合{a,b}為二元集合，其中 a≠b。
* 集合{a,a}不為二元集合，它等於單元素集合 {a}。 在公理集合論裡，二元集合的存在性是空集公理、配對公理和外延公理的結果。由這兩個公理可導出單元素集合{{}}的存在性。由空集公理可知集合{}存在。再由配對公理可知集合{{},{{}}}的存在，其包含了{}和{{}}。根據外延公理，{}和{{}}是不同的集合。所以集合{{},{{}}}便是二元集合。 (zh)
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- En matematiko, duelementa aro aŭ duera aro aŭ duuma aro estas aro kun precize du malsamaj elementoj, aŭ, ekvivalente, aro kies kardinala nombro estas 2. Ekzemploj:
* Aro {1, 2} estas duelementa.
* Aro {1, 1} estas ne duelementa, ĉar ĝi estas la sama aro kiel {1}, kaj tial estas unuelementa aro. En aksioma aroteorio, la ekzisto de duelementaj aroj estas konsekvenco de la aksiomo de malplena aro kaj la . De la aksiomo de malplena aro sekvas ke ekzistas aro . De la aksiomo de parigo sekvas ke ekzistas aro, kaj tial ekzistas aro s. Ĉi tiu lasta aro havas du elementojn. (eo)
- Une paire est un ensemble qui comprend exactement deux éléments. (fr)
- In matematica, una coppia non ordinata è un insieme della forma cioè un insieme che ha due elementi e senza nessuna particolare relazione tra loro. Diversamente una coppia ordinata ha come suo primo elemento e come suo secondo elemento. (it)
- Para nieuporządkowana – zbiór zawierający elementy i i nie zawierający żadnego innego elementu. Jego istnienie gwarantuje aksjomat pary. Jeżeli to para nieuporządkowana składa się z jednego tylko elementu. (pl)
- 二元集合為一恰有兩個不同元素的集合，或等價地說，一其勢為2的集合。 例如：
* 集合{a,b}為二元集合，其中 a≠b。
* 集合{a,a}不為二元集合，它等於單元素集合 {a}。 在公理集合論裡，二元集合的存在性是空集公理、配對公理和外延公理的結果。由這兩個公理可導出單元素集合{{}}的存在性。由空集公理可知集合{}存在。再由配對公理可知集合{{},{{}}}的存在，其包含了{}和{{}}。根據外延公理，{}和{{}}是不同的集合。所以集合{{},{{}}}便是二元集合。 (zh)
- Als Paarmenge, Zweiermenge, ungeordnetes Paar (zur Abgrenzung gegen ein geordnetes Paar) oder einfach nur Paar bezeichnet man in der Mengenlehre die durch symbolisierte Menge, die genau die Objekte und als Elemente enthält. Es gilt also: . , und so weiter. (de)
- In mathematics, an unordered pair or pair set is a set of the form {a, b}, i.e. a set having two elements a and b with no particular relation between them, where {a, b} = {b, a}. In contrast, an ordered pair (a, b) has a as its first element and b as its second element, which means (a, b) ≠ (b, a). A set with precisely two elements is also called a 2-set or (rarely) a binary set. An unordered pair is a finite set; its cardinality (number of elements) is 2 or (if the two elements are not distinct) 1. More generally, an unordered n-tuple is a set of the form {a1, a2,... an}. (en)
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