Benutzer:Wruedt/Sandkasten

Demonstrationsgerät aus der Schulhistorischen Sammlung Bremerhafen. Die Rolle wird durch das Gewichts links belastet. Die Gewichtskraft rechts wirkt entgegen der Hangabtriebskraft. Durch Verringerung des Neigungswinkels wird erreicht, dass das linke Gewicht gehoben wird.

Eine schiefe, schräge oder geneigte Ebene (kurz respektive umgangssprachlich: Hang, Schiefe, Schräge bzw. Neigung) ist in der Mechanik eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern – der Arbeitsaufwand bleibt jedoch unverändert, da sich die Wegstrecke entsprechend verlängert (ähnlich wie beim Hebel oder dem Flaschenzug). Die schiefe Ebene gehört seit dem Altertum zu den elementarsten sogenannten einfachen Maschinen. Auf ihr beruhen zahlreiche mechanische Wirkweisen, sie bildet beispielsweise die Basis anderer einfacher Maschinen wie Keil oder Schraube.

Verwendung im Alltag

Schiefe Ebenen finden sich in Form von Rampen z. B. als Laderampen, Fahrrad-, Rollstuhlrampen oder Auffahrrampen bei Autotransportern. Sie dienen dazu, Höhenunterschiede für Fahrzeuge zu überwinden oder schwere Lasten leichter Auf- oder Abzuladen. Im Altertum wurden sie zum Transport von Steinen und beim Bau großer Bauwerke verwendet. Aber auch bei Serpentinen im Gebirge wird ausgenutzt, dass ein Höhenunterschied leichter überwunden werden kann, wenn der Anstieg auf eine größere Strecke verteilt wird.

Schrauben lassen sich als Zylinder mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten. Diese bewegt sich relativ zum stehenden Körper. Der Keil nutzt dasselbe Prinzip, um große Kräfte senkrecht zur schiefen Ebene zu erzeugen.

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  Eine Rampe verschafft Zugang zum Obergeschoss.
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  Rollstuhlrampe
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  Laderampe eines LKW
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  Straße in Burma, Assam, Indien, durch Burma nach China, 1945
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  Erdrampe von den Römern bei der Belagerung von Masada erbaut

Geschichte

Die Verwendung von Rampen beim Bau der ägyptischen Pyramiden ist nicht endgültig geklärt, wobei es dazu verschiedene Theorien gibt. Reste einer Erdrampe, die bei der Belagerung von Masada etwa 70 n. Chr. von den Römern errichtet wurde, sind bis heute erhalten.

Durch Experimente mit einer Fallrinne, also einer schmalen schiefen Ebene, widerlegte Galileo Galilei die Bewegungslehre des Aristoteles. Er entdeckte, dass die Fallgeschwindigkeit proportional zur verstrichenen Zeit zunimmt. Die schiefe Ebene diente dazu, die Bewegung im Vergleich zum freien Fall zu verlangsamen und so einer genaueren Beobachtung zugänglich zu machen. Simon Stevin bewies mit seinem Gedankenexperiment mit einer Kette, dass der Hangabtrieb auf zwei gegeneinander geneigten Ebenen bei gleichem Höhenunterschied im umgekehrten Verhältnis zu deren Längen steht.

Als historisches Arbeitsgerät diente die Schrotleiter dazu, schwere Fässer zu Heben oder Herabzulassen.

Anwendungen der schiefen Ebene

Bezeichnungen

Schiefe Ebene
Rot ist die Gewichtskraft und ihre Zerlegung in die Komponenten, grün sind die Kontaktkräfte zwischen Körper und Unterlage.

Zur Berechnung der Kräfte auf der schiefen Ebene werden folgende Bezeichnungen verwendet:

$F_{\mathrm {G} }\,$: Gewichtskraft,

$F_{\mathrm {GN} }\,$: Normalkomponente der Gewichtskraft $F_{\mathrm {G} }\,,$

$F_{\mathrm {N} }\,$ : Normalkraft,

$F_{\mathrm {GH} }=F_{\mathrm {H} }\,$: Hangabtriebskraft

$F_{\mathrm {R} }\,$: Reibungskraft,

$\mu _{\mathrm {H} }\,$: Haftreibungs-Koeffizient,

($\mu \,$: Gleitreibungskoeffizient)

$\alpha \,$ : Neigungswinkel der schiefen Ebene,

$h\,$: Höhe der schiefen Ebene,

$b\,$: Basis der schiefen Ebene,

$l\,$: Länge der schiefen Ebene.

Statisches Gleichgewicht

Stellt man einen Körper auf eine schiefe Ebene, so muss im statischen Gleichgewicht der Hangabtrieb durch eine äußere Kraft kompensiert werden. Diese Kraft kann durch eine Haltevorrichtung oder durch Haftreibung erzeugt werden. Beim letzteren Fall darf die Hangabtriebskraft die Haftreibungskaft nicht übersteigen. Ist der Winkel der schiefen Ebene zu groß oder die Reibung zu gering, beginnt der Körper zu rutschen, z. B. ein Auto, das bei Glatteis an einer Steigung geparkt werden soll.

Die Gewichtskraft $F_{\mathrm {G} }=m\cdot g$ kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkraftkomponente $F_{\mathrm {GN} }$) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtrieb $F_{\mathrm {GH} }$).

$F_{\mathrm {GN} }=m\cdot g\cos \alpha$

$F_{\mathrm {GH} }=m\cdot g\sin \alpha$

An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft $F_{\mathrm {N} }$ und eine Reibungskraft $F_{\mathrm {R} }\,.$

Wenn der Körper in Ruhe sein soll, muss die Reibungskraft $F_{\mathrm {R} }$ gerade gleich groß sein wie der Hangabtrieb:

$\ F_{\mathrm {R} }=F_{\mathrm {GH} }\,.$

Entsprechend gilt auch für das Gleichgewicht senkrecht zur schiefen Ebene:

$\ F_{\mathrm {N} }=F_{\mathrm {GN} }\,.$

Mit dem Reibungsgesetz:

$F_{\mathrm {R} }\leq \mu _{\mathrm {H} }F_{\mathrm {N} }$

ergibt sich als notwendige Bedingung:

$\mu _{\mathrm {H} }\geq \tan \alpha \,.$

Wenn der Neigungswinkel $\!\ \alpha$ zu groß oder der Haftreibungskoeffizient $\mu _{\mathrm {H} }\,$ zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich und der Körper rutscht.

Bei kleinen Winkeln wie sie im Straßenverkehr üblich sind gilt: $\tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha$. Bei Blitzeis mit einem Reibbeiwert 0,1 für Gummireifen dürfte die Neigung der Straße maximal 5,7 Grad oder etwa 6 % betragen. Dieser maximale Steigungswert ist auch nach DIN 18040-1 für Rampen im öffentlichen Raum vorgeschrieben, um Rollstuhlfahrern den Zugang aus eigener Kraft zu ermöglichen.

Gleiten

Wenn die Gleichgewichtsbedingung nicht erfüllt ist, erfährt der Körper eine gleichmäßige Beschleunigung.

$g^{*}=g\cdot \sin \alpha -\mu g\cdot \cos \alpha$

Da dies langfristig zu einer immer größeren Geschwindigkeit führen würde, können diese Bedingungen immer nur für einen begrenzten Zeitraum aufrecht erhalten bleiben. Beim Skifahren z. B. durch eine Route nicht direkt in der Falllinie, oder bei Rennläufern durch den Luftwiderstand.

Rollende Bewegung

Hangabtrieb eines Fahrzeugs auf der schiefen Ebene

Bei Körpern die auf der festen schiefen Ebene abrollen, ohne dass eine merkliche Gleitgeschwindigkeit am Berührpunkt auftritt, gilt der Energieerhaltungssatz. Die verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg. Dieser Fall tritt auf griffiger Fahrbahn bei Fahrzeugen oder beim Be- und Entladen von Fässern auf. Für die Arbeit bei einem Anstieg um die Höhe $h$ in vertikaler Richtung gilt:

$A=F_{\mathrm {G} }\cdot h$

Die Arbeit entlang der schiefen Ebene:

$A=F_{H}\cdot l=F_{\mathrm {G} }\cdot h$ ist mit der Arbeit in vertikaler Richtung identisch.

Der Zusammenhang $F_{H}\cdot l=F_{\mathrm {G} }\cdot h$ wird als „Goldene Regel der Mechanik“ bezeichnet, die Galilei 1594 so formulierte:

„Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen“

Hangabtrieb und Gewicht stehen im Verhältnis:

${\frac {F_{H}}{F_{\mathrm {G} }}}={\frac {h}{l}}$.

Der Hangabtrieb wird bei Fahrzeugen durch Kräfte an den Rädern kompensiert. Da diese durch Kraftschluss übertragen werden, muss die Neigung deutlich geringer als 45° sein. Die Baldwin Street die als steilste Straße der Welt gilt, erfordert bei einer Neigung von 19,3° einen Reibwert von $\mu =0.35$ und ist bei winterlichen Verhältnissen deutlich zu steil.

Versuch zum freien Fall

Gerät zur Demonstration der gleichmäßig beschleunigten Bewegung eines rollenden Körpers auf einer schiefen Ebene, Museo Galileo, Florence.

Durch Versuche mit einer Fallrinne gelang es Galilei, die Gesetze des freien Falls herzuleiten. Die schiefe Ebene ermöglichte es, den Vorgang so zu verlangsamen, dass der zeitliche Verlauf auch mit den ungenauen Mitteln seiner Zeit beobachtbar wurde. Im folgenden wird die Bewegungsgleichung für einen Körper hergeleitet, der eine schiefe Ebene herunterrollt. Die Rollreibung ist im Vergleich zur Gleitreibung wesentlich geringer und wird vernachlässigt.

Für die Geschwindigkeit im Schwerpunkt eines Körper wie Fass, Zylinder oder Kugel, der ohne zu gleiten auf der schiefen Ebene abrollt, gilt: $v=\omega \cdot r$. Für die Beschleunigung entsprechend: $a={\dot {\omega }}\cdot r$

Im Schwerpunkt soll parallel zur schiefen Ebene außer der Hangabtriebskraft keine weitere Kraft angreifen. Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus den Momenten um den Berührpunkt:

$(\Theta +mr^{2})\cdot {\dot {\omega }}=F_{H}\cdot r$.

Mit dem Trägheitsradius $i$ gemäß $\Theta =m\cdot i^{2}$ gilt

${\dot {\omega }}={\frac {g\sin \alpha \cdot r}{i^{2}+r^{2}}}$

Damit errechnet sich die Beschleunigung zu:

$a=g\cdot \sin \alpha \cdot {\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}$

Mit $\sin \alpha ={\frac {h}{l}}$ und der Abkürzung $c_{F}={\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}$ gilt:

$a=g\cdot {\frac {h}{l}}\cdot c_{F}$

Die Beschleunigung ist proportional zur Erdbeschleunigung, wird aber durch das Verhältnis der Höhe zur Länge der schiefen Ebene reduziert. Da die Beschleunigung konstant ist, bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt mit dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

$v=a\cdot t$

und dem Weg-Zeit-Gesetz:

$s={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}$

Durch Messungen stellte Galilei diesen Zusammenhang fest, da das Verhältnis unterschiedlicher Rollwege im Verhältnis zu den Quadraten der benötigten Zeit steht.

${\frac {s_{1}}{s_{2}}}={\frac {t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}}$

Die Zeit die benötigt wird um die Strecke $l$ zurückzulegen errechnet sich aus dem Weg-Zeit-Gesetz zu:

$T={\sqrt {\frac {2l}{g\cdot c_{F}\cdot \sin \alpha }}}$

Das Trägheitsmoment ist von der Massenverteilung abhängig und kann durch den Trägheitsradius $i$ ausgedrückt werden ($\mathbf {\Theta } =m\cdot i^{2}$). Für einen homogenen Vollzylinder ist das Trägheitsmoment $\mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}/2$. Für einen Hohlzylinder mit vernachlässigbar dünnem Rand ist das Trägheitsmoment $\mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}$. Unabhängig davon, aus welchen Materialien der eine und der andere gefertigt sind und unabhängig von den Radien der Körper, rollt demnach ein Hohlzylinder langsamer die schiefe Ebene herunter als ein Vollzylinder.

Die Geschwindigkeit am Ende der schiefen Ebene ergibt sich zu:

$v={\sqrt {2g\cdot c_{F}\cdot h}}$

Sie unterscheidet sich von der des freien Falls lediglich um den formabhängigen Faktor $c_{F}$ (Punktmasse 1, Vollzylinder 2/3, Hohlzylinder 1/2, Kugel 5/7). Die Dauer des Vorgangs lässt sich aber durch die Neigung deutlich verlängern. Galilei verwendete für seine Versuche eine Rinne mit 12 Ellen Länge (etwa 6 m) deren Neigungswinkel er veränderte. Bei einer Anhebung um eine Elle entsprechend 4,8° Neigung konnte der Vorgang so auf maximal 4,2 s verlängert werden. Für einen freien Fall hätte man einen Turm mit eine Fallhöhe von etwa 87 m benötigt. Eine Rekonstruktion seines Arbeitszimmers findet sich im Deutschen Museum.

Schraube

Der im Alltag häufigste Anwendungsfall der schiefen Ebene ist die Schraube. Die Schraube kann als schiefe Ebene betrachtet werden, die um einen Zylinder gewickelt wird. Im Grenzfall einer reibungsfreien Schraube kann der Energieerhaltungssatz angewandt werden. Die Arbeit aus Drehmoment $M$ und Verdrehwinkel der Schraube entspricht der Arbeit aus Axialkraft $F_{\mathrm {z} }$ und Verschiebung.

Die „Steigung“ $h$ einer Schraube ist als Differenz der Schraubengänge definiert. Bei einer Drehung um den Winkel $\phi =2\pi$ bewegt sich die Schraube um diese Strecke.

$z={\frac {\phi }{2\pi }}\cdot h$

Für die Arbeit gilt:

$M\cdot \phi =F_{\mathrm {z} }\cdot z$

und damit ergibt sich für die Axialkraft:

$F_{\mathrm {z} }={\frac {M}{h}}\cdot 2\pi$

Große Kräfte können daher bei gleichem Drehmoment mit Schrauben geringer Steigung erzielt werden. Für die Selbsthemmung der Verbindung ist Reibung erforderlich. Dies kann im Wirkungsgrad $\eta$ berücksichtigt werden:

$F_{\mathrm {z} }=\eta {\frac {M}{h}}\cdot 2\pi$

Bewegung mit Luftwiderstand

Siehe auch: Fall mit Luftwiderstand

Im Folgenden soll die Luftwiderstandskraft $F_{W}$ bei der Bewegung des Körpers der auf einer schiefen Ebene berücksichtigt werden.

$F_{W}={\frac {\rho }{2}}c_{\mathrm {w} }A\,v^{2}=kv^{2}$.

Die Konstante $k\,$ ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums abhängig.

Hierbei ist:

$c_{\mathrm {w} }\,$: der Widerstandsbeiwert,

$A\,$: die Körperquerschnittsfläche,

$\rho \,$: die Dichte des strömenden Mediums

Gleiten

Auf den Körper wirken parallel zur schiefen Ebene der Hangabtrieb, sowie die Reibungskraft und der Luftwiderstand. Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet:

$m\cdot a=F_{H}-F_{R}-F_{\mathrm {W} }$

oder:

$m{\dot {v}}+kv^{2}=mg\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )$

Es wird von dem Fall: $\tan \alpha >\mu$ ausgegangen. Mit

$g^{*}=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )$

Ansatz:

$v(t)=v_{\infty }\tanh bt\Rightarrow {\dot {v}}={\frac {v_{\infty }b}{\cosh ^{2}\left(bt\right)}}$

Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm (Zeitachsen-Skalierung ist eher symbolisch zu verstehen)

Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:

$\cosh ^{2}\left(bt\right)=1+\sinh ^{2}\left(bt\right)$

und durch Koeffizientenvergleich:

$v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g^{*}}{k}}}$ und

$b={\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\,.$

Als Lösung ergibt sich:

$v=v_{\infty }\tanh \left[{\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\cdot t\right]\,.$

$v_{\infty }$ ist die Endgeschwindigkeit.

$\!\ \tanh x$ ist der Tangens hyperbolicus.

Bei einer Neigung einer Skischanze von 37° und einem Reibwert von 0.03 ergibt sich mit einem cw*A-Wert von 0.224 (A geschätzt 0.32 m², cw geschätzt 0.7, g*=5.67 m/s², k=0.134, m=70 kg) würde man auf 196 km/h kommen. Die Sprungtürme von Skischanzen sind also nicht darauf ausgelegt diese Geschwindigkeiten zu erreichen. Eine realistischere Abschätzung der Anlaufgeschwindigkeit auf Basis der Energieerhaltung findet sich auf LEIFIphysik.

Rollen

Im Folgenden wird ein Fahrzeug mit der Gesamtmasse $m$ behandelt, das eine Neigung herabrollt. Wenn im Berührpunkt zwischen Reifen und Fahrbahn keine Relativgeschwindigkeit auftritt, gibt es keine Reibungskraft. Eine Kraft in gleicher Richtung wird aber benötigt um die Winkelgeschwindigkeit der Räder zu erhöhen. Formal ist daher die Newtonsche Bewegungsgleichung identisch mit dem Fall Gleiten:

$m\cdot a=F_{\mathrm {H} }-F_{\mathrm {R} }-F_{\mathrm {W} }$

Wenn man vereinfachend annimmt, dass alle Räder gleich schwer sind und das gleiche Trägheitsmoment besitzen, so ergibt sich für die erforderliche Kraft für die Summe aller Räder:

$F_{\mathrm {R} }=m_{\mathrm {R} ad}\cdot a{\frac {i^{2}}{r^{2}}}$

Eingesetzt in die Newtonschsche Bewegungsgleichung:

$(m+m_{\mathrm {R} ad}{\frac {i^{2}}{r^{2}}})\cdot {\dot {v}}+kv^{2}=mg\sin \alpha$

Diese Gleichung entspricht formal der Gleichung die für den Fall Gleiten hergeleitet wurde. Sie hat also auch den gleichen Lösungsansatz. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich zu:

$v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g\sin \alpha }{k}}}$.

Für einen Fahrer auf einem Rennrad mit der Gesamtmasse von 80 kg das ein Gefälle von 10% herabrollt ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von 82 km/h. Für c_W*A wird mit Rennfahrerhaltung ein Wert von 0.25 m² angenommen. Bei einem c_W*A Wert von 0.36 m² bei normaler Körperhaltung würde man eine Geschwindigkeit von 68 km/h erzielen.

Weblinks

Commons: Schiefe Ebene – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Bestimmung der Endgeschwindigkeit an einer geneigten Ebene (PDF; 166 kB)
• Aufgabe mit kommentierter Lösung
• Kräftezerlegung auf LEIFIphysik

Einzelnachweise

Kategorie:Klassische Mechanik Kategorie:Physikalisches Demonstrationsexperiment

Fallschirmspringer

Freier Fall eines Fallschirmspringers mit ungeöffnetem Fallschirm.

Die Bewegungsgleichung für den freien Fall eines Fallschirmspringers ergibt sich aus dem zweiten Newtonschen Gesetz. Auf den Fallschirmspringer wirkt die Gewichtskraft und der Luftwiderstand der quadratisch mit der Geschwindigkeit $v$ zunimmt:

$ma(t)=mg-c\cdot v^{2}(t)$

Darin sind $a$ die Beschleunigung, $g$ die Erdbeschleunigung, $c$ der Reibungskoeffizient und $m$ die Masse des Fallschirmspringers. Für den Reibungskoeffizient wird bei ungeöffnetem Fallschirm ein Wert von 0.32 kg/m angenommen.

Der Fallschirmspringer erfährt die Beschleunigung:

$a(t)=g-{\frac {c}{m}}\cdot v^{2}(t)$

Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Integration der Beschleunigung:

$v(t)=v_{0}+\int _{t_{0}}^{t}a(s,v(s))\,\mathrm {d} s\,.$

Für kleine Schrittweiten $h$ kann das Integral durch die Beschleunigung an der linken Intervallgrenze angenähert werden und man erhält so die Differenzengleichung für die Geschwindigkeit:

$v_{k+1}=v_{k}+a_{k}\cdot h=v_{k}+(g-{\frac {c}{m}}\cdot v_{k}^{2})\cdot h$, Anfangswert: $v_{0}=0\ m/s$

Bei einer Schrittweite von 0.05 s sind numerische Lösung und analytische Lösung nahezu deckungsgleich. Nach 13 s sind 99% der Grenzgeschwindigkeit von 180 km/h erreicht. Bis zu diesem Zeitpunkt wird eine Fallstrecke von 480 m zurückgelegt, die sich im weiteren Verlauf um 50 m pro Sekunde vergrößert.

Wellrad

Ernst Mach verwendet in seinem vielbeachteten Mechanikbuch das Beispiel eines Wellrades, um die Umwandlung eines dynamischen Problems in ein statisches durch Ansatz der d’Alembertschen Trägheitskraft zu veranschaulichen.

Abb. 3: Veranschaulichung eines Zweikörpersystems. Das Wellrad (links) und eine Masse an einer Trommelwinde (rechts)

Bei einem Wellrad sind zwei an Seilen aufgehängte Schwerpunktmassen $m_{1}$ und $m_{2}$, die über eine Rolle mit unterschiedlichen Radien $r_{1}$ und $r_{2}$ miteinander verbunden. Vereinfachend wird angenommen, dass die Rolle kein Trägheitsmoment besitzt. (Siehe Abb. 3 links: Zur Vereinfachung der Vorzeichen wähle man die positive y-Richtung nach unten.)

Durch Freischneiden am Seil mit den Seilkräften ${\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2}$ ergeben sich die Bewegungsgleichungen der beiden Massen:

$m_{1}\cdot {\ddot {y_{1}}}=m_{1}\cdot g-F_{1}$

$m_{2}\cdot {\ddot {y_{2}}}=m_{2}\cdot g-F_{2}$

Für die Seilkräfte ergibt sich somit:

$F_{1}=m_{1}\cdot g-m_{1}\cdot {\ddot {y_{1}}}$

$F_{2}=m_{2}\cdot g-m_{2}\cdot {\ddot {y_{2}}}$

Die Beschleunigungen können durch die Winkelbeschleunigung ausgedrückt werden:

${\ddot {y_{1}}}=-r_{1}\cdot {\ddot {\varphi }}$

${\ddot {y_{2}}}=r_{2}\cdot {\ddot {\varphi }}$

Das Momentengleichgewicht an der Welle ergibt sich somit:

$F_{2}\cdot r_{2}-F_{1}\cdot r_{1}=0$

Die Beschleunigungen werden eingesetzt:

$(m_{2}\cdot g-m_{2}\cdot r_{2}\cdot {\ddot {\varphi }})\cdot r_{2}-(m_{1}\cdot g+m_{1}\cdot r_{1}\cdot {\ddot {\varphi }})\cdot r_{1}=0$

umgestellt:

$(m_{1}\cdot r_{1}^{2}+m_{2}\cdot r_{2}^{2})\cdot {\ddot {\varphi }}=(m_{2}\cdot r_{2}-m_{1}\cdot r_{1})\cdot g$

Damit lautet die Bewegungsgleichung des Wellrades:

${\ddot {\varphi }}={\frac {m_{2}\cdot r_{2}-m_{1}\cdot r_{1}}{m_{1}\cdot r_{1}^{2}+m_{2}\cdot r_{2}^{2}}}\cdot g\,$.

d'Alembertsches Prinzip

Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert) wird in der klassischen Mechanik zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen von mechanischen Systemen mit Zwangsbedingungen benutzt. Das Prinzip beruht auf dem Axiom, dass die Zwangskräfte in einem mechanischen System keine virtuelle Arbeit leisten. Die Zwangsbedingungen sind in den virtuellen Verschiebungen enthalten, daher treten in der Bewegungsgleichung nur die eingeprägten Kräfte, nicht jedoch die Zwangskräfte in Erscheinung. Durch die Erweiterung auf Mehrkörpersysteme hat das d'Alembertsche Prinzip neben dem Jourdainschen Prinzip große praktische Bedeutung erlangt.

Manche Autoren benutzen den Begriff „d’Alembertsches Prinzip“ auch für das Dynamische Gleichgewicht zwischen äußerer Kraft und d’Alembertscher Trägheitskraft, während andere Autoren dies entschieden zurückweisen.

Version von Alturand etwas verändert

Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein Axiom der klassischen Mechanik. Es besagt, dass durch Zwangskräfte keine Arbeit an einem mechanischen System verrichtet oder aus ihm entnommen wird, in anderen Worten: die virtuelle Arbeit verschwindet.

Das Prinzip vereinfacht die Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Zwangsbedingungen, denn im d'Alembertschen Prinzip erscheinen nicht die äußeren Kräfte sondern nur deren Untermenge die eingeprägten Kräfte. Das d'Alembertsche Prinzip erlaubt somit die Aufstellung von Bewegungsgleichungen ohne direkte Berücksichtigung der Zwangskräfte.

Das d'Alembertsche Prinzip bildet gemeinsam mit seiner Erweiterung, dem Prinzip der virtuellen Leistung, neben den drei newtonschen Gesetzen die Grundlage der klassischen Mechanik und ist zusammen mit der Variationsrechnung die Grundlage des Lagrange-Formalismus.

Der Name „d’Alembertsches Prinzip“ wird von manchen Autoren für das Dynamische Gleichgewicht zwischen äußerer Kraft und d’Alembertscher Trägheitskraft verwendet, während andere Autoren dies mit heftigen Worten als eine unzulässige Verkürzung ablehnen.

Bei komplizierteren Mechanismen lassen sich keine unabhängigen Koordinaten finden, die bereits die Zwangsbedingungen erfüllen. Beim Pendel wird im folgenden die x-Koordinate gewählt. Die Bewegung sei auf die untere Halbebene beschränkt. Mit der Zwangsbedingung:

$x^{2}+y^{2}-l^{2}=0\Rightarrow y=-{\sqrt {l^{2}-x^{2}}}$

und den ersten und zweiten Ableitungen:

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=0\Rightarrow {\dot {y}}=-{\frac {x}{y}}\cdot {\dot {x}}$

$x{\ddot {x}}+{\dot {x}}^{2}+y{\ddot {y}}+{\dot {y}}^{2}=0\Rightarrow {\ddot {y}}=-{\frac {1}{y}}(x{\ddot {x}}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})$

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

${\dot {\vec {r}}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}\,{\dot {x}}={\begin{bmatrix}1\\-{\frac {x}{y}}\end{bmatrix}}{\dot {x}}={\vec {\tilde {v}}}{\dot {x}}$

${\ddot {\vec {r}}}={\begin{bmatrix}1\\-{\frac {x}{y}}\end{bmatrix}}{\ddot {x}}-{\begin{bmatrix}0\\{\frac {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{y}}\end{bmatrix}}$

Die virtuelle Verschiebung ergibt sich zu:

$\delta {\vec {r}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}\,\delta x={\begin{bmatrix}1\\-{\frac {x}{y}}\end{bmatrix}}\delta x$

Als eingeprägte Kraft wirkt die Gewichtskraft:

${\vec {G}}={\begin{bmatrix}0\\-m\,g\end{bmatrix}}$

Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus der Bedingung, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskraft $m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}$ die in Seilrichtung wirkt, verschwindet.

$\left(m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0\Rightarrow \left(m({\begin{bmatrix}1\\-{\frac {x}{y}}\end{bmatrix}}{\ddot {x}}-{\begin{bmatrix}0\\{\frac {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{y}}\end{bmatrix}})-{\vec {G}}\right)\cdot {\begin{bmatrix}1\\-{\frac {x}{y}}\end{bmatrix}}\delta x=0.$

Da die virtuelle Verdrehung beliebig ist, gilt:

$\left(m({\begin{bmatrix}1\\-{\frac {x}{y}}\end{bmatrix}}{\ddot {x}}-{\begin{bmatrix}0\\{\frac {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{y}}\end{bmatrix}})-{\vec {G}}\right)\cdot {\begin{bmatrix}1\\-{\frac {x}{y}}\end{bmatrix}}=0\Rightarrow m(1+{\frac {x^{2}}{y^{2}}}){\ddot {x}}=mg{\frac {x}{y}}-m{\frac {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{y^{2}}}x.$

Zusammengefasst:

$m\,l^{2}\,{\ddot {x}}=m\,g\,x\,y-m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})x$

Aufgelöst nach der zweiten Ableitung von $x$ erhält man die Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${\ddot {x}}=g{\frac {x}{l}}\cdot {\frac {y}{l}}-{\frac {v^{2}}{l}}\cdot {\frac {x}{l}}$.

Lenkung

Als Lenkung bezeichnet man die Vorrichtung zur Beeinflussung der Fahrtrichtung von Fahrzeugen jeglicher Art. Dieser Artikel beschäftigt sich vor allem mit der Lenkungstechnik an zweispurigen Landfahrzeugen, insbesondere mit der Achsschenkellenkung.

Entwicklung

Kutschen als Vorgänger der motorisierten Fahrzeuge hatten eine Schwenkachslenkung (oder Drehschemellenkung). Dabei wird der vordere starre Achskörper mit seinen an beiden Enden gelagerten Rädern um einen in der Mitte befindlichen Bolzen horizontal geschwenkt. Diese Lenkung kommt heute noch oft an mehrachsigen Anhänger-Fahrzeugen vor. Wegen der hohen Lenkkräfte war die Steuerung eines selbst fahrenden Fahrzeugs kaum möglich. Um den Problemen mit zwei gelenkten Rädern aus dem Weg zu gehen, wurde der Benz Patent-Motorwagen Nummer 1 als Dreirad mit Steuerkopflenkung konzipiert. Das Prinzip der Steuerkopflenkung wurde auch noch beim vierrädrigen Daimler Stahlradwagen von 1889 verwirklicht, bei dem zwei Spurstangen die Drehbewegung der Lenkpinne auf die Gabeln übertrugen. Das erste Fahrzeug mit der von Carl Benz patentierten Achsschenkellenkung war 1893 der Benz Victoria. Die Spurstangen waren an einem mittig angeordneten achsfesten Lenkstockhebel angelenkt. Die Achsschenkellenkung, die bereits im Jahr 1761 von Erasmus Darwin erfunden und erstmals 1816 von dem Hofwagner Georg Lankensperger aus München patentiert wurde, setzte sich in Verbindung mit einer Starrachse allgemein durch.

Mit dem Aufkommen von Einzelradaufhängungen und höheren Geschwindigkeiten musste das Lenkverhalten verbessert werden. Bewegungen der Starrachsen bei Bodenunebenheiten führten zu ungewollten Lenkeinschlägen und Stößen in der Lenkung. Die Schwenkbewegung der Lenkgetriebewelle wurde in unterschiedlichen Ausführungen des Lenkgestänges auf die beiden Spurstangen übertragen. Durch die Pfeilung der Spurstangen ergaben sich erweiterte Möglichkeiten die Radeinschläge nach Ackermann zu realisieren. Mit der Entwicklung von Kugelgelenken konnten auch wichtige Lenkungskenngrößen wie z. B. der Lenkrollradius den steigenden Anforderungen, die sich durch ABS ergaben, angepasst werden. Die Zahnstangenlenkung die bei vielen frontgetriebenen Fahrzeugen mit Quermotor bereits Standard war, setzte sich Mitte der 1990er-Jahre auch in der Oberklasse durch.

Zur Reduktion der Bedienkräfte wurden hydraulich unterstützte Servolenkungen entwickelt, teilweise mit geschwindigkeitsabhängiger Unterstützung. Trotz verringerter Bedienkräfte konnten direktere Lenkungen für sportlicheres Fahrverhalten realisiert werden. Aus Gründen der Energieeinsparung wurde bei Zahnstangenlenkung die hydraulische durch eine elektrische Unterstützung abgelöst. Diese bot auch die Möglichkeit von Assistenzfunktionen, die sich auf das Lenkradmoment auswirken, z. B. der Spurassistent.

Die Beeinflussung des Lenkverhaltens durch ungleiche Bremskräfte kurvenaussen und kurveninnen ist schon länger Stand der Technik. Bei Allradfahrzeugen werden auch die Antriebskräfte durch Torque Vectoring so verteilt, wie es der Fahrsituation entspricht.

Hinterachslenkungen werden zunehmend Standard in der Oberklasse. Die Vorderachslenkung wird um Funktionen zur Stabilisierung des Fahrzeugs mittels Überlagerungslenkung erweitert. Aus Sicherheitsgründen wird aber immer noch ein mechanischer Durchgriff vom Lenkrad zu den Rädern realisiert (s. Dynamiklenkung). Das ist auch bis Level 4 beim autonomen Fahren der Fall, damit der Fahrer jederzeit die Kontrolle übernehmen kann. Erst bei Level 5 wird auf den Fahrer völlig verzichtet, ein Lenkrad ist nicht mehr erforderlich.

Schwenkachs-/Drehschemellenkung

Drehschemel eines Pferdewagens, Schemel aus Achskörper und dahinter befindlichem Stützbogen gebildet

Bei der Schwenkachslenkung wird der starre Achskörper mit den an seinen Enden gelagerten Rädern als Ganzes um einen zentralen Bolzen, den „Königsbolzen“, geschwenkt. Die Aufstandsfläche des Fahrzeugs verringert sich jedoch beim Schwenken der Achse immer mehr vom Viereck bis hin zu einem Dreieck bei einer 90°-Stellung, was die Kippstabilität verringert.

Die Konstruktion mit „Königsbolzen“ wurde zur Übertragung des Kippmoments zwischen Achse und Fahrzeug beim Ausschwenken zu einem schemelartigen Gebilde erweitert, dem Drehschemel oder „Drehkranz“, der in aufwändigen Fällen mit Kugelgelenk ausgestattet sein kann.

Nur sehr einfache selbstfahrende Fahrzeuge wie Seifenkisten oder frühe dampfgetriebene Straßenwalzen wurden mit Schwenkachslenkung ausgestattet. Sie wird jedoch bei Kutschen und anderen Pferdewagen sowie allgemein bei mehrachsigen Anhängern eingesetzt, da die Deichsel zum Ziehen des Fahrzeugs hier auf einfache Weise zugleich auch zur Ansteuerung der gelenkten Achse dienen kann.

Dreirädrige Lastenfahrräder mit zwei Vorderrädern und vornliegender Ladefläche haben überwiegend eine Schwenkkachslenkung mit Steuerkopf. Damit zu fahren erfordert allerdings Übung.

Kurzgekuppelte Anhängerzüge haben mehrere Gelenke in der Deichsel. Bei Kurvenfahrt verschiebt sich der Pol der Schwenkbewegung seitlich, um dadurch ein Anschlagen der Fahrzeugecken an die Zugmaschine zu verhindern.

Steuerkopflenkung

Die Steuerkopflenkung oder Gabellenkung wird überwiegend bei einspurigen Fahrzeugen verwendet, kam aber auch im im vierrädrigen Daimler Stahlradwagen zum Einsatz. Die Lenkachse liegt in der Radebene und ist leicht nach hinten oben geneigt um den erforderlichen Nachlauf zu gewährleisten.

Außer bei einspurigen (Fahrrädern, Motorrollern) wird sie auch bei dreispurigen Fahrzeugen angewendet. Das einzelne Vorder- oder auch Hinterrad wird geschwenkt, so bei klassischen Dreirädern und auch bei Rollstühlen und hinten gelenkten Gabelstaplern.

Bestandteile der Steuerkopflenkung

• Radgabel,
• Lenkkopf (Motorrad) bzw. Steuersatz (Fahrrad)
• Motorradlenker bzw. Fahrradlenker

US-Patent: US1715246A
#3 Lenkköpfe
#11 Lenkhebel
#12 Doppelrohrsystem

Duplex-Lenkung

Unter dem Namen Duplex-Lenkung ist eine Vorderradaufhängung für Motorräder mit zwei Lenkköpfen bekannt. Darin sind die Lenkwellen gelagert, an deren Enden die Lenkhebel befestigt sind. Sie bilden zusammen mit dem Rad bzw. dem Lenker jeweils ein Lenktrapez. Die Verbindungselemente der Lenkhebel sind die Radachse bzw, der Lenker. Durch die Momentanpole der beiden Lenktrapeze verläuft die ideelle Lenkachse, die bei Lenkeinschlag nicht in der Radebene liegt. Das Rad ist an einem Dopperohrsystem federnd gelagert, das von den Lenkhebeln bewegt wird. In der Patentschrift wird auf die Steifigkeit dieser Lenkung verwiesen. Durch die Lenkhebel die schnell eine Strecklage erreichen, ist der Lenkeinschlag begrenzt.

Achsschenkellenkung

Radeinschläge nach Ackermann

Achsschenkellenkung mit durchgehender Spurstange bei Starrachsen. (M=Mittelpunkt bzw. Momentanpol)

Beide Räder sollen bei Kurvenfahrt auf einer Kreisbahn mit gleichem Mittelpunkt rollen, dem Momentanpol der Bewegung. Bei der Drehschemellenkung ist das automatisch der Fall. Bei der Achsschenkellenkung müssen die Räder unterschiedlich geschwenkt werden, das innen liegende stärker als das aussen liegende. Bei Starrachsen mit durchgehender Spurstange erreicht man das mit der Bildung des sogenannten Lenktrapezes aus dem Achskörper, den beiden leicht nach innen weisenden Spurhebeln an den Achsschenkeln und einer Spurstange, die kürzer als der Achskörper ist. Dadurch entstehen beim Schwenken der Räder ungleich lange wirksame Hebelarme, so dass sich die Verlängerungen aller Radachsen ungefähr im Kurvenmittelpunkt schneiden (Ackermann-Prinzip). Ein Hinweis auf ein richtig dimensioniertes Lenktrapez ist die Tatsache, dass sich die verlängerten Lenkhebel an den Achsschenkeln in Geradeausstellung in der Mitte der Hinterachse treffen (siehe oben in obiger Abbildung). Bei Einzelradaufhängungen trifft diese Einschränkung nicht zu, da sich die Ackermannbedingung durch entsprechende Pfeilung der Spurstangen einhalten lässt. Moderne Fahrzeuge sind auch nicht streng nach Ackermann ausgelegt, sondern haben etwas geringere Spurdifferenzwinkel, da andere Kriterien wie Wendekreis oder die Lenkungsrückstellung berücksichtigt werden.

Die Ackermannlenkung wurde erstmals 1816 von dem Hofwagner Georg Lankensperger aus München patentiert. Dieser überließ sie in England dem Verleger und Unternehmer Rudolph Ackermann, weshalb sie dort unter dem Begriff „A-Steering“ bekannt wurde. An Ackermann erinnert auch die Bezeichnung desjenigen Lenkwinkels als Ackermann-Winkel der bei langsamer Kurvenfahrt durch das Verhältnis von Radstand und Radius definiert ist und die Ackermann-Funktion, welche die Spurwinkeldifferenz zwischen dem kurveninneren und dem kurvenäußeren Rad beschreibt, die vom Lenkwinkel des kurveninneren Rades, vom Radstand und der Spurweite abhängt. Weitere Patente erhielten Amédée Bollée 1876 in Frankreich und Carl Benz 1893.

Einzelradaufhängung

Zahnstangenlenkung

Achsschenkel-Lenkanlage mit Schrauben- oder Schnecken-Lenkgetriebe
1 Lenkrad
2 Lenksäule
3 Lenkgetriebe
4 Spurstangen
5 schwenkbare Rad-Achsschenkel
6 Spurhebel
7 Zwischenstange
8 Lenkstockhebel
9 Zwischenhebel

Die beiden Achsschenkel oder Radträger sind um je eine eigene, leicht geneigte Achse schwenkbar gelagert. Die Spreizachse war ursprünglich durch einen Achsschenkelbolzen festgelegt. Bei modernen Fahrwerken sind ideelle Spreizachsen üblich, wie sie sich z. B. durch einen aufgelösten unteren Dreieckslenker ergeben. Damit sind Spreizachsen realisierbar, die teilweise weiter aussen als dss Rad liegen. Zum koordinierten Schwenken sind die Radträger gelenkig über das Lenkgestänge miteinander verbunden. Die Drehung des Lenkrads wird über das Lenkgetriebe und das Lenkgestänge auf die Räder übertragen. Das Lenkradmoment gibt dem Fahrer eine Rückmeldung über den Fahrzustand. Es darf aus Sicherheitsgründen einen Maximalwert nicht übersteigen. Das Produkt aus Lenkgetriebeübersetzung und Gestängeübersetzung (Gesamtlenkübersetzung) muss bei Fahrzeugen ohne Lenkunterstützung entsprechend indirekt ausgelegt sein. Bei Fahrzeugen mit Servolenkung ist eine direktere Gesamtlenkübersetzung möglich.

Im Fahrbetrieb wirken bei Kurvenfahrt Seitenkräfte und Reifenrückstellmomente auf das Rad. Durch gezielte Elastizitäten im Lenksystem und der Radaufhängung (Elastokinematik) stellen sich Radlenkwinkel ein, die geringer sind als auf Grund der Lenkübersetzung zu erwarten wäre. Die Elastizitäten tragen zum untersteuernden Verhalten des Fahrzeugs bei.

Bestandteile der Achsschenkellenkung

• Radträger
• Achsschenkelbolzen oder Kugelgelenke zum Anschluss an die Radaufhängung
• Spurhebel am Radträger
• Spurstangen (teilweise Zwischenstange (Lenkstange), Zwischenhebel und Lenkstockhebel)
• Lenkgetriebe,
• Lenksäule,
• Lenkrad

Zahnstangenlenkung

Bei Zahnstangenlenkung sind die Spurstangen unmittelbar an der Zahnstange angelenkt und verbinden sie mit den Spurhebeln. Man unterscheidet die Anbindung seitlich an der Zahnstange und den Mittenabgriff. Das „Lenkdreieck“ gebildet aus den Anlenkpunkten der Spurstange und einem Punkt auf der Spreizachse bestimmt den Spurdifferenzwinkel.

Spindel- oder Kugelumlauflenkung

Im einfachsten Fall sind die Spurstangen direkt mit dem Lenkstockhebel verbunden z. B. beim VW Käfer, was eine Asymmetrie zur Folge hat. Ein spiegelsymmetrisch angeordneter Lenkstockzwischenhebel der über die Lenkstange mit dem Lenkstockhebel verbunden ist, weist diesen Nachteil nicht auf. Die Spurstangen können an den Lenkstockhebeln oder der Lenkstange angelenkt sein (Mercedes-Benz W 202).

Lenkgeometrie

Siehe auch: Fahrwerk#Fahrwerksparameter

Spur (Spurwinkel) und Sturz bestimmen sich durch die Lage der Radachse, Spreizungs- und Nachlaufwinkel, Lenkrollradius und Nachlaufstrecke durch die Lage der Lenkachse.

Vorspur

Vorspur bedeutet, dass die Räder bei Geradeausfahrt nicht genau parallel stehen, sondern in Fahrtrichtung einen spitzen Winkel bilden. Das verbessert den Geradeauslauf. Heute werden frontangetriebebe Fahrzeuge in der Regel mit leichter Nachspur eingestellt, damit sich unter Antriebskräften etwa parallele Radstellungen ergeben. Bei Hinterradantrieb können beide Achsen eine leichte Vorspur aufweisen.

Sturz

Die Radachsen oder Achsstummel stehen nicht genau horizontal, sondern weisen am äußeren Ende leicht nach unten oder nach oben. Der erstgenannte Fall wird fahrzeugbezogen positiver Sturz genannt. Negativer Sturz gleicht teilweise die Wankneigung in Kurven aus und ermöglicht höhere Seitenführungskräfte in der Kurve.

Spreizung

Die Schwenkachsen der Räder sind in der Regel leicht nach innen geneigt, so dass die Verlängerung der Schwenkachse die Aufstandsfläche des Rads möglichst nah an deren Mittelpunkt schneidet. Dadurch verkleinert sich der Lenkrollradius. Bremskräfte zum Beispiel durch Bremsen auf einseitiger Glätte oder ABS-Eingriffe sind weniger stark am Lenkrad spürbar. Bei positivem Lenkrollradius bewirkt die Spreizung beim Einschlag ein leichtes Anheben des Wagenvorderteils, was eine selbsttätige Rückstellung in den Geradeauslauf bewirkt, auch im Stehen (Rückstellmoment).

Stoßradius und Störkrafthebelarm

In der Ansicht von hinten auf das Rad hat die Spreizachse vom Radmittelpunkt die Abstände Stoßradius r_σ und Störkrafthebelarm r_St. Ihr zur Fahrbahn paralleler Abstand ist der Stoßradius, ihr kleinster Abstand ist der Störkrafthebelarm. Beide Werte sind positiv, wenn der Radmittelpunkt weiter als die Spreizachse von der Fahrzeugmitte entfernt ist. Sie sollen speziell bei Frontantrieb möglichst klein sein, damit Antriebskräfte keine störenden Kräfte in der Lenkung verursachen.

Nachlaufwinkel, Nachlaufstrecke

Der Nachlauf – hier angegeben durch den Nachlaufwinkel θ – hat durch das Erzeugen eines Rückstellmoments bei Radeinschlag eine spurstabilisierende Wirkung.

Das auf das Lenkrad wirkende Rückstellmoment bei Kurvenfahrt entsteht im Wesentlichen durch das Reifenrückstellmoment und durch das Moment von Seitenkraft und Nachlaufstrecke der Räder. Diese entsteht durch die leichte Neigung der Spreizachsen (Nachlaufwinkel) nach hinten oben in der Projektion auf die Fahrzeuglängsebene und den Nachlaufversatz. Die Nachlaufstrecke ist definiert als Abstand zwischen dem Durchstoßpunkt der Spreizachse auf der Fahrbahn und dem Radaufstandspunkt in einer Ansicht seitlich auf das Rad.

Andere Bauarten bei zweispurigen Fahrzeugen

Knicklenkung

Radlader mit Knicklenkung

Bei der Knicklenkung besteht das Fahrzeug aus zwei Teilen mit je einer meistens ungefederten Starrachse. Beide Teile sind durch ein um eine vertikale Achse drehendes Gelenk miteinander verbunden. Das Lenken erfolgt durch Schwenken der beiden Fahrzeugteile gegeneinander. Im Vergleich mit der ebenfalls eingelenkigen Schwenkachslenkung ist die Aufstandsfläche im geschwenkten Zustand und damit die Standsicherheit größer.

Die Knicklenkung eignet sich in erster Linie für kurze und eher langsamfahrende Fahrzeuge. Massen, die sich vor der Vorder- oder hinter der Hinterachse befinden (wie etwa Schaufeln und andere Arbeitsgeräte), wirken bei Fahrzeugen mit Knicklenkung stabilisierend. Das Fahrzeug wird durch die Knicklenkung in einen vorderen und einen hinteren Teil separiert, die sich gegenseitig stützen. Je gleichmäßiger sich die jeweilige Achslast auf den Bereich vor und den Bereich hinter der betreffenden Achse aufteilt, desto geringer ist die Kippgefahr bei Lenkbewegungen des Fahrzeugs.

Die Kombination von Knicklenkung und Achsschenkellenkung wird als Stereolenkung bezeichnet.

Kompaktlader mit Panzerlenkung

Panzerlenkung

Die Richtungsänderung erfolgt meist durch zwei Hebel, rechts und links vom Fahrer, welche den Antrieb auf der jeweiligen Seite abbremsen. Die unterschiedlichen Drehzahlen der beiden angetriebenen Ketten von Panzern und anderen Kettenfahrzeugen (wie Raupenfahrzeuge) und auch Rad-Fahrzeugen (z. B. Kompakt- und Hoflader) bewirken ein Lenken zur langsamer drehenden Seite.

In der einfachsten Form geschieht das durch eine Lenkbremse mit Bremsbändern, die jedoch schnell verschleißen. Daher wird meist ein Überlagerungslenkgetriebe verwendet, das auch die Antriebsverluste minimiert.

Lenkungsarten in Bezug auf die Fahrzeug-Achsen

Lenkung einer Achse (Zweiradlenkung)

Bei der Zweiradlenkung werden die beiden Räder derselben Achse gelenkt. Dies ist die gängigste Form der Lenkung bei Straßenfahrzeugen.

• Hinterradlenkung wird nur bei langsam fahrenden Fahrzeugen mit bauartbedingter Höchstgeschwindigkeit angewandt, da der Regelkreis Fahrer/Fahrzeug bei höheren Geschwindigkeiten instabil wird. Gabelstapler mit Hinterradlenkung profitieren von erhöhter Wendigkeit. Bei Gabelstaplern und Mähdreschern vereinfacht die Hinterradlenkung die Konstruktion der hoch belasteten Vorderachse.
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  Hinterradlenkung
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  Gabelstapler mit Hinterradlenkung

• Vorderradlenkung ist die übliche Lenkung bei den meisten Kraftfahrzeugen. Bei 3-achsigen Fahrzeugen mit ungelenkten Hinterachsen (Doppelachse oder Tandemachse) werden die Hinterräder bei Kurvenfahrt schräg zur Rollrichtung geschoben und radieren dabei auf dem Untergrund. Durch den Reibungswiderstand zwingen sie dem Fahrzeug ein untersteuerndes Verhalten auf. Je enger die beiden Hinterachsen zusammen stehen, desto weniger wird die Lenkung behindert. Die gelenkte Vorderachse darf bei Fahrzeugen mit großen Nutzlasten nicht zu weit vorne stehen. Wenn aufgrund einer großen Zuladung auf der hinteren Ladefläche des Fahrzeugs ein zu geringer Anteil des Fahrzeug-Gesamtgewichts auf die Vorderachse wirkt, würden sonst die Vorderräder beim Lenken ihre Haftung verlieren.
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  Vorderradlenkung
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  T5 mit Vorderradlenkung

Mehrere gelenkte Achsen in Kombination mit ungelenkten Achsen

• Doppelvorderradlenkung wird die Lenkung zweier kurz hintereinander liegender Vorderachsen genannt. Die hintere Achse hat einen geringeren Lenkwinkel als die vordere Achse, um bei der Kurvenfahrt das Radieren der zweiten Achse zu vermeiden. Mit dieser Lenkung wird eine hohe vordere Achslast auf zwei Achsen verteilt. Die Alternative wäre es, die vorderen Reifen zu vergrößern, was bei vorne liegendem Motor jedoch den Motorraum einschränkt. Zwei angelenkte Vorderachsen sind bei Spezialfahrzeugen wie großen Autokranen anzutreffen. Vermehrt werden auch Baufahrzeuge wie Schüttguttransporter (Muldenkipper) und selbstfahrende Betonmischer damit ausgestattet. Die Übernahme einer höheren Last durch die beiden Vorderachsen verringert den Reifenverschleiß durch das Radieren der Reifen an den ungelenkten Hinterachsen bei Kurvenfahrt. Gelegentlich wird auch auf eine zweite Hinterachse verzichtet.

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  Doppelvorderradlenkung
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  TPz FUCHS 2 mit Doppelvorderradlenkung

• Die Vorderrad-Hinterradlenkung wird bei 3-achsigen Nutzfahrzeugen mit doppelter Hinterachse verbaut. Bei ihr lenkt zusätzlich zur Vorderachse eine der beiden Hinterachsen mit. Ist die erste Hinterachse die Lenkachse, so lenkt diese gleichsinnig mit der Vorderachse. Die zweite Hinterachse als Lenkachse lenkt gegensinnig zur Vorderachse. Da ein Radieren der Hinterachsen vermieden wird, ist das Fahrzeug leichter zu handhaben. Insbesondere bei Anlenkung der hintersten Achse reduziert sich der Wendekreis. Anwendung vor allem bei schweren Lkw, die oft auf engem Terrain bewegt werden müssen (z. B. Müllwagen).

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  Vorderrad-Hinterradlenkung
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  Von den acht Achsen des MZKT-79221 sind die vorderen drei und die hinteren drei Achsen lenkbar.

Allradlenkung

Eine Allradlenkung ermöglicht einen kleinen Wenderadius Eine Allradlenkung findet sich unter anderem bei landwirtschaftlichen Fahrzeugen oder bei Schwerlasttransportern. Man unterscheidet folgende Arten:

• Proportionallenkung, bei der die Hinterräder in einem bestimmten Verhältnis zu den Vorderrädern eingeschlagen werden, beispielsweise das Vorderrad bewegt sich um 2°, das Hinterrad entsprechend um 0,4°.
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  Proportionallenkung
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  GMC Sierra Denali mit Proportionallenkung

• Gleichlauflenkung, bei der die Vorder- und Hinterräder gleichmäßig verdreht werden, was zur Folge hat, dass bei konstanter Kurvenfahrt die Hinterräder genau in der Spur der Vorderräder laufen.
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  Gleichlauflenkung
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  Teleskoplader mit Gleichlauflenkung

• Verzögerungslenkung, bei der die Hinterräder erst angelenkt werden, wenn die Vorderräder einen bestimmten Lenkwinkel erreicht haben.
• Hundeganglenkung ist eine vor allem in der Landwirtschaft eingesetzte Lenkung. Dabei werden die Vorderräder und die Hinterräder in die gleiche Richtung ausgelenkt. Dies ermöglicht es, die Hinterräder auch bei Geradeausfahrt versetzt zu den Vorderrädern laufen zu lassen. Dies reduziert die Spurrinnenbildung und vermindert die Kippgefahr im steilen Gelände. Tandemwalzen können mit dieser Lenkung eine größere Fläche Walzasphalt walzen.
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  Hundeganglenkung
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  Teleskoplader im Hundegang

Bei PKW ist ein Lenkverhalten erwünscht, das sich mit proportional eingeschlagenen Rädern nicht erzielen lässt: kleiner Wendekreis mit gegensinnig einschlagenden Rädern bei niedriger Geschwindigkeit, erhöhte Fahrstabilität bei hoher Geschwindigkeiten mit gleichsinnig einschlagenden Rädern. Honda verwirklichte ein solches System ab 1987 im Modell Prelude. Mit einem Planetenrad-Lenkgetriebe an der Hinterachse wurden die Räder bei kleinem Lenkwinkel gleichsinnig, bei großem Lenkwinkel gegensinnig eingeschlagen. Moderne Systeme arbeiten mit rechnergesteuerten elektrischen Stellmotoren. Damit kann der Lenkeinschlag der Hinterräder in Abhängigkeit von der Fahrgeschwindigkeit und fahrdynamischen Größen unabhängig von der Stellung der Vorderräder eingestellt werden, um die Fahrstabilität zu verbessern. Solche Systeme können Teil einer Lenkung sein, die ohne mechanische Verbindung zwischen Lenkrad und Rädern bzw. ohne mechanische Kopplung der Hinterräder auskommt (Steer-by-Wire).

Lenkung von Wasserfahrzeugen und Flugkörpern

Querruder eines Flugzeugs in einer Kurve

Die Lenkung von Wasserfahrzeugen und Flugkörpern wird meist Steuerung genannt. Sie wirkt auf den Antrieb (zum Beispiel bei Hubschraubern oder Ruderbooten), über bewegliche Steuerflächen auf das umströmende Medium (Wasser oder Luft – über Höhen-, Seiten-, Querruder bei Flugzeugen und Steuerruder bei Schiffen) oder die Lenkung hat eine eigene Energiequelle (zum Beispiel als Steuertriebwerke bei Raketen und Bugstrahlruder bei Schiffen).

Eigenlenkung und Fernlenkung

SPMT wird durch Kabel-Fernsteuerung ferngesteuert

Bodenfahrzeuge haben normalerweise eine Eigenlenkung, sie sind selbstgesteuert. Das Gegenteil, die Fernlenkung oder Fernsteuerung, überträgt die Lenkbefehle von außen auf das Fahrzeug, wie bei einem ferngesteuerten Modellauto oder einem Satelliten.

Literatur

• Erik Eckermann: Die Achsschenkellenkung und andere Fahrzeug-Lenksysteme. Deutsches Museum, München 1998, ISBN 3-924183-51-1. [online http://www.be-tech.bplaced.net/inhalt/02tew/techwerk/lenkung/sachinformation/lenkungssysteme.pdf, abgerufen 2016-09-13]
• Anthony Bird, Edward Douglas-Scott Montagu of Beaulieu: Steam Cars, 1770–1970. Littlehampton Book Services, 1971, ISBN 0-304-93707-X. (englisch)
• Michael Hilgers: Nutzfahrzeugtechnik: Chassis und Achsen - Kapitel Lenkung. Springer Vieweg, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-12746-6 (doi:10.1007/978-3-658-12747-3)
• Peter Pfeffer, Manfred Harrer (Hrsg.): Lenkungshandbuch: Lenksysteme, Lenkgefühl, Fahrdynamik von Kraftfahrzeugen. 2. Auflage. Springer Vieweg, 2013. 

Weblinks

Commons: Hundegang – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Steering Equipment, Regelung TRANS/WP.29/GRRF/2002/5 (PDF; 110 kB) der Economic Commission for Europe

Schwingende Atwoodsche Maschine

Schwingende atwoodsche Maschine (SAM)

Bei der schwingenden Atwoodschen Maschine führt die Masse $m$ eine ebene Pendelbewegung mit veränderlicher Pendellänge durch. Das Seil bewegt sich über reibungsfreie, punktförmige Aufhängungen.

Die Beschleunigung der Pendelmasse kann im mitrotierenden Bezugssystem durch die Freiheitsgrade Pendellänge $r$ und Winkel $\theta$ ausgedrückt werden.

${\vec {a}}_{m}={\begin{bmatrix}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {\theta }}{\dot {r}}\end{bmatrix}}$

Die Seilkräfte $F_{m}$ und $F_{M}$ auf die Massen $m$ und $M$ ergeben sich zu:

$F_{m}=m(g\cos \theta -{\ddot {r}}+r{\dot {\theta }}^{2})$:

$F_{M}=M(g+{\ddot {r}})$:

Die Seilkräfte stehen im, Gleichgewicht:

$F_{M}=F_{m}\Rightarrow M(g+{\ddot {r}})=m(g\cos \theta -{\ddot {r}}+r{\dot {\theta }}^{2})$:

Daraus folgt für ${\ddot {r}}$ mit $\mu ={\frac {M}{m}}$

${\ddot {r}}={\frac {1}{1+\mu }}\left(g(\cos \theta -\mu )+r{\dot {\theta }}^{2}\right)$

In tangentialer Richtung gilt:

$m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {\theta }}{\dot {r}})=-mg\sin \theta$

${\ddot {\theta }}=-{\frac {1}{r}}(g\sin \theta +2{\dot {\theta }}{\dot {r}})$

Diese Gleichung hätte man auch direkt mit dem Drallsatz erhalten.

${\frac {dL}{dt}}=T$.

Mit dem Drehimpuls: $L=mr^{2}{\dot {\theta }}$ und dem Drehmoment $T=-mgr\sin \theta$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=-mgr\sin \theta \Rightarrow m(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {\theta }}{\dot {r}})=-mgr\sin \theta$.

${\ddot {\theta }}=-{\frac {1}{r}}(g\sin \theta +2{\dot {\theta }}{\dot {r}})$

Für $\mu >1$ gibt es zahlreiche Schwingungsformen, die numerisch berechnet werden müsssen. Geschlossene Lösungen gibt es nur für einfache Spezialfälle. Für $\mu =0$ z. B. ergibt sich in kartesischen Koordinaten eine Flugparabel. Die folgende Herleitung findet sich in der angegebenen Quelle.

$L=m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\Rightarrow {\dot {L}}=m(x{\ddot {y}}-y{\ddot {x}})$

$m(x{\ddot {y}}-y{\ddot {x}})=-mgx$

Diese Differentialgleichung genügt dem Ansatz:

${\ddot {x}}=0$

${\ddot {y}}=-g$

Je nach den Anfangsbedingungen ergibt das eine Flugparabel oder das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls.

Fliehkraftpendel

Beim Fliehkraftpendel befindet sich der Aufhängepunkt im Abstand $L$ von der Drehachse einer mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega _{S}$ rotierenden Scheibe. Anwendung findet das Fliehkraftpendel bei der Hammermühle oder als Tilger für Torsionsschwingungen im Antriebsstrang von Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Da die Gewichtskraft z. B. bei waagrechter Anordnung keinen Einfluss hat oder vernachlässigt werden kann, fehlt die eingeprägte Kraft.

Das d'Alembertsche Prinzip verlangt in diesem Fall dass die Beschleunigung der Pendelmasse senkrecht zur virtuellen Verschiebung ist:

$m{\vec {a}}\cdot {\vec {\tilde {v}}}\delta \varphi =0\quad \Rightarrow {\underline {\underline {{\vec {a}}\cdot {\vec {\tilde {v}}}=0}}}$

Die Beschleunigung der Punktmasse setzt sich aus der Führungsbeschleunigung ${\vec {a}}_{F}$, der Coriolisbeschleunigung ${\vec {a}}_{C}$ und der Relativbeschleunigung ${\vec {a}}'$ zusammen:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{F}+{\vec {a}}_{C}+{\vec {a}}'$

Die Coriolisbeschleunigung steht senkrecht zur virtuellen Verschiebung, hat also keinen Anteil an der Gesamtsumme. Die Relativbeschleunigung ist parallel zur virtuellen Verschiebung.

${\vec {a}}'\cdot {\vec {\tilde {v}}}=l^{2}{\ddot {\varphi }}$

Der Vektor vom Mittelpunkt der Scheibe setzt sich aus dem Vektor zum Aufhängepunkt ${\vec {r}}_{A}$ und dem Vektor vom Aufhängepunkt zur Pendelmasse ${\vec {r}}_{P}$ zusammen:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{A}+{\vec {r}}_{P}$

Geht man vereinfachend von einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Scheibe aus, so ist die Führungsbeschleunigung gleich der Zentripetalbeschleunigung ${\vec {a}}_{Z}$ der Pendelmasse. Durch die Vektorzerlegung in Seilrichtung und in Richtung Aufhängepunkt werden die Anteile in Seilrichtung beim Skalarprodukt zu Null. Es verbleiben die Anteile aus der Zentripetalbeschleunigung des Aufhängepunkts:

${\vec {a}}_{Z}\cdot {\vec {\tilde {v}}}=\omega _{S}^{2}\;L\;l\sin(\varphi )$

Zusammengefasst ergibt sich die Differentialgleichung:

$l^{2}{\ddot {\varphi }}=-\omega _{S}^{2}\;L\;l\sin(\varphi )$

${\ddot {\varphi }}=-\omega _{S}^{2}{\frac {L}{l}}\sin(\varphi )$

Der Vergleich mit der Differentialgleichung des Fadenpendels zeigt dass die Zenripetalbeschleunigung des Aufhängepunkts $\omega _{S}^{2}L$ äquivalent zur Erdbeschleunigung ist.

Pendelachse

Auf der Verbindungslinie vom Radaufstandspunkt zum Gelenk liegt in der Fahrzeugmitte das Rollzentrum. Diese Verbindungslinie gibt die Richtung vor, in der Querkräfte bei Kurvenfahrt auf den Aufbau übertragen werden können. Bei hohen Querbeschleunigungen führt die Vertikalkomponente dieser Kraft im Fahrzeugsystem zu einem starken „Aufstützen“ der Hinterachse und damit zu einer Schwerpunktsanhebung des Fahrzeugs. Am kurvenäußeren Rad stellt sich rasch positiver Sturz ein, was die Seitenführungskraft deutlich herabsetzt. In der Folge kann es zu plötzlichem Übersteuern kommen. Je höher das Rollzentrum liegt, desto ausgeprägter ist der Effekt. Die Reduktion des Wankwinkels, was als positive Eigenschaft eines hohen Rollzentrums gesehen wurde, kann diesen Nachteil nicht ausgleichen. Durch Tieferlegung des Gelenks, möglichst lange Halbachsen und eine Ausgleichsfeder in Verbindung mit einer weicheren Tragfeder wurde der Übersteuertendenz entgegengewirkt.

Durch Längslenker wurde die Abstützung von Längskräften und der Bremsnickausgleich verbessert. Gleichzeitig deutete sich damit der Übergang zur Schräglenkerachse an. Beim Mercedes 600 wurde das Bremsmoment über eine zusätzliche Strebe am Aufbau abgestützt, was den Bremsnickausgleich nochmals verbesserte. Der zusätzliche Aufwand verkomplizierte die ursprünglich einfache Konstruktion deutlich, weshalb die Pendelachse durch andere Achskonzepte verdrängt wurde.