Nicht-fortsetzbare Lösung

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erhält man aus dem Satz von Peano und dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer lokalen Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems. Man ist vor allem daran interessiert, ob man diese Lösung immer weiter fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung (gelegentlich auch maximale Lösung genannt) gelangt. In einem zweiten Schritt ist man an dem Grund für die Nicht-Fortsetzbarkeit interessiert. Dies wird durch den Satz vom maximalen Existenzintervall geklärt.

Typischerweise werden die Ergebnisse in folgender Reihenfolge angewandt:

• Zunächst zeigt man mit dem Satz von Peano oder dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer (ggf. eindeutigen) lokalen Lösung des Anfangswertproblems.
• Daraus folgt mit dem unten angegebenen Satz die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung des Anfangswertproblems. Deren Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der gronwallschen Ungleichung.
• Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man durch Ausschluss der übrigen Alternativen (beispielsweise mit Vergleichsargumenten) folgern, dass diese nicht-fortsetzbare Lösung global ist.

Im Folgenden sei stets $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$.

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei $G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}$ und $F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig. Weiter sei $y\in C([a,b);\mathbb {K} ^{n})\cap C^{1}((a,b);\mathbb {K} ^{n})$ eine Lösung von

$\ y'=F(x,y)$

auf $(a,b)$. Dann gibt es ein $x^{+}\in [b,\infty )$ und eine Lösung $u$ obiger Differentialgleichung auf $(a,x^{+})$ mit den Eigenschaften:

• $y(x)=u(x)$ auf $[a,b)$.
• Es gibt kein $s^{+}>x^{+}$, so dass $u$ zu einer Lösung auf $(a,s^{+})$ fortgesetzt werden kann.

Dieser Satz wird bewiesen, indem man eine partielle Ordnung auf der Menge aller Lösungen derart einführt, dass maximale Elemente stets nicht-fortsetzbare Lösungen sind. Deren Existenz wird mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn bewiesen. Details sind im Beweisarchiv zu finden. Auf Grund dieses Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfangswertproblems $y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ (für stetiges $F$).

Der Satz vom maximalen Existenzintervall

Hat man eine nicht-fortsetzbare Lösung vorliegen, möchte man wissen, was am Rand ihres Definitionsbereichs passiert. Das Ausschließen dieses Phänomens würde dann nämlich Globalität dieser Lösung nach sich ziehen.

Formulierung

Sei $D\subset \mathbb {K} ^{n}$ und $F:[a,b)\times D\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig; dabei sei explizit $b=\infty$ zugelassen. Betrachte die Differentialgleichung

$y'=F(x,y)\ .$

Dann gilt für jede nicht-fortsetzbare Lösung $y:[a,x^{+})\rightarrow D$

• $\ x^{+}=b$ (Globalität) oder
• $\lim _{x\nearrow x^{+}}\min \left\{{\rm {dist}}(y(x),\partial D),{\frac {1}{\|y(x)\|}}\right\}=0\ .$

Hierin sei ${\rm {dist}}(z,\emptyset ):=\infty$ vereinbart.

Variante für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung

Seien $G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}$, $F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen und $y:(x^{-},x^{+})\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ eine nicht-fortsetzbare Lösung von $\ y'=F(x,y)$. Dann gilt

• $x^{+}=\infty$ (Globalität) oder
• $\lim _{x\nearrow x^{+}}\|y(x)\|=\infty$ oder
• es gibt eine Folge $x_{j}\nearrow x^{+}$, so dass der Grenzwert $\lim _{j\rightarrow \infty }y(x_{j})=:y^{\star }$ existiert mit $(x^{+},y^{\star })\in \partial G$.

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Weblinks

Wikibooks: Beweis der Existenz nicht-fortsetztbarer Lösungen