Diskussion:Heterologie

Natürlich lässt sich nicht aussagenlogisch beweisen, dass heterolog heterolog ist. Die Argumentation läßt nämlich ungeklärte Annahmen zu, die zu einem gültigen Schluss unzulässig sind. Für den widersprüchlichen Schluss muss man annehmen hetrolog sei heterolog und dann nochmal heterolog sei autolog, womit die Annahme der Begriff heterolog (=A) sei wahr zusammenbricht. Im Schema A, A ---> B ist A nicht wahr und man kann schließlich B nicht abtrennen. Das sind logische Trivialitäten. --Room 608 12:02, 11. Jan. 2008 (CET)

Das ist nicht genau der Punkt, auf den es ankommt, sondern eher wie folgt:

1. Absolut triviale, offensichtliche und völlig harmlose Grundannahme: autolog zu sein ist eine definierte Eigenschaft von Adjektiven, ebenso heterolog := $\neg$autolog.
2. Insbesondere sind autolog und heterolog selbst Adjektive, die folglich jeweils entweder autolog sind oder nicht (bzw. heterolog sind oder nicht).
3. Ob sich aussagenlogisch beweisen lässt, welche Variante jeweils zutrifft, sei dahingestellt. Wir können aber jeweils die verschiedenen Möglichkeiten untersuchen.
4. Insbesondere ist die Aussagen "heterolog ist heterolog" entweder wahr oder falsch.
   • Ist sie wahr, so bedeutet dies nach Definition von heterolog, dass heterolog nicht heterolog ist. Dies ist ein Widerspruch.
   • Ist sie dagegen falsch, so bedeutet dies nach Definition von heterolog, dass heterolog eben doch heterolog ist. Dies ist ebenfalls ein Widerspruch.
5. Es ergibt sich also in beiden Fällen (und weitere sind nicht zulässig) ein Widerspruch.

Um den Widerspruch aufzulösen, müssen wir feststellen, welche unberechtigte Annahme wir gemacht haben, und diese negieren. Und da bleibt nur die "harmlose" aus 1.

Andererseits erhielte man bei der Untersuchung von autolog keinen unmittelbaren Widerspruch, d.h. "autolog ist heterolog" könnte prinzipiell wahlweise wahr oder falsch sein. Die Aussage erscheint unentscheidbar. Dies ist jedoch hinfällig, da wir ja bereits gesehen haben, dass autolog und heterolog zu einem Widerspruch führen.

Anders ausgedrückt: Wir untersuchen gewisse Objekte, Abstrakta, Eigenschaften usw., die wir im Folgenden durch Symbole darstellen wollen. Hierunter fallen insbesondere Adjektive. Ein Adjektiv sei dargestellt durch ein Symbol f, so dass f(x) entweder wahr oder falsch oder nicht definiert ist. Wir definieren heterolog(x) als wahr genau dann, wenn x(x) falsch ist, und ansonsten (also wenn x(x) wahr oder nicht definiert ist) als falsch. Es folgt sofort heterolog(heterolog)$\iff \neg$ heterolog(heterolog), d.h. heterolog kann gar nicht so definiert werden. Die Paradoxie ist dieselbe wie beim Barbier, der sich nicht selbst rasiert, oder der Menge der sich nicht selbst enthaltenden Mengen und zeigt eigentlich nur, dass man vorsichtig sein muss, was man als Definition einer Eigenschaft (also eines Adjektivs) zulässt.--Hagman 14:11, 12. Jan. 2008 (CET)

Das ganze ist eine nicht-Tautologie, also eine Antilogie, ein immer falscher Ausdruck. Auf Grundlage welcher Logik wird da abgeleitet? Die Aussagenlogik leitet nur Tautologien ab. Die Definitionen stimmen nicht. --Room 608 18:34, 12. Jan. 2008 (CET)

Das Problem ist folgendes: Wenn Du mit der Voraussetzung (hetereolog $\wedge \neg$ heterolog) als Voraussetung hineingehst, und den Modus tollens anwendest kriegst du $\neg$ ($\neg$ hetereolog $\lor$ heterolog), womit Du nie herausfindest, ob heterolog oder nicht-heterolog wahr ist. Das ist Dein Ergebnis und das ist wenig. --Room 608

Worauf beziehst du dich? Die umgangssprachliche Formulierung aus meinem 4. übersetzt sich doch wohl zu heterolog(heterolog)$\lor \neg$ heterolog(heterolog) und nicht zu (hetereolog $\wedge \neg$ heterolog)

Laut Definition: heterolog(x)$\leftrightarrow \neg x(x)$

Insbesondere also heterolog(heterolog)$\leftrightarrow \neg$ heterolog(heterolog).

Falls wir also P statt heterolog(heterolog) schreiben, ergibt das $P\leftrightarrow \neg P$ - ein Widerspruch. Nicht nur kriege ich nie heraus, "ob heterolog oder nicht-heterolog wahr ist", nein, es liegt ein Widerspruch vor (d.h. ich kann insbesondere sowohl heterolog(heterolog) als auch das Gegenteil beweisen - aus falschem folgt beliebiges). Um dies aufzulösen, muss die nur scheinbar harmlose Annahme, dass Heterologie eine für alle Adjektive definierbare Eigenschaft ist, fallengelassen werden. Mindestens heterolog(heterolog) muss undefiniert sein, aber rein sprachlich war es mir nicht "untersagt", heterolg so zu definieren, dass heterolog(x) für alle Adjektive definiert ist (s.o.). Und wie gesagt ist die zu ziehende Schlussfolgerung, dass man bei einer Formalisierung entsprechend vorsichtig sein muss, wenn man widerspruchsfreie Theorien aufbauen will.--Hagman 13:41, 13. Jan. 2008 (CET)

Ja, natürlich liegt ein Widerspruch vor und zwar in Deinen Definitionen. Denn mit dem Kalkül Aussagenlogik kannst Du vielleicht Widersprüche ableiten, aber keine immer falschen Ausdrücke wie das hier. In logischer Sprache: Du kannst nicht abtrennen, weil Du die Voraussetzungen nicht als wahr erweisen kannst. Für Dein x oben habe ich heterolog eingesetzt. Und selbst wenn Du autolog einsetzt kommst Du mit dem Modus tollens nicht weiter. Das ganze ist eine Ableitung, kein logischer Beweis für irgendwas. Ich suche aber mal die korrekte Formulierung raus. --Room 608 13:53, 13. Jan. 2008 (CET)

Ausserdem kannst Du laut Definiton 1 für heterolog $\neg$ autolog einsetzen. Wenn dann irgendwas bei heterolog(heterolog)$\lor \neg$ heterolog(heterolog) stimmen soll muss irgendwo x:=$\neg$x gelten, was eine falsche Definiton ist. Na ja, jedenfalls wenn Du für heterolog(heterolog)$\lor \neg$ heterolog(heterolog) den Modus Tollens anwendest kriegst Du einen Widerspruch abgeleitet, ob für heterolog oder nicht autolog ist ja egal. Aber heterolog und autolog sind auch ein Widerspruch, womit $\neg$($\neg$ heterolog $\lor$ $\neg$ autolog) also womit $\neg$($\neg$ heterolog $\lor$ heterolog) falsch ist, aber welches weiß man nicht. Hoffentlich hab ichs nicht wieder verhauen--Room 608 14:27, 13. Jan. 2008 (CET)

Ich weiß nicht, ob wir nicht darum streiten, dass wir beide der Meinung sind, das Heterologie nicht definiert werden kann (genau das ist da auch die Paradoxie). Betrachte alternativ Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität. Variablen seien gedacht als für Adjektive der deutschen Sprache stehend. Wir fügen noch eine zweistellige Relation (ich benutze für diese einfach mal das Symbol $\in$) hinzu. $x\in y$ soll heissen „Das Adjektiv "x" ist y“ also beispielsweise $lustig\in zweisilbig$, dennn "lustig" ist zweisilbig; je nach persönlichem Humor gilt möglicherweise auch $zweisilbig\in lustig$, das ist nicht so genau festgelegt; zumindest gilt etwa $dreisilbig\in dreisilbig$. Allerdings bleiben die hier erwähnten Konstantenausdrücke lustig usw. undefiniert. Stattdessen fordern wir nur zwei Konstanten, nämlich autolog und heterolog. Jetzt bringen wir deren geforderte Semantik unter, indem wir als Axiome unserer Theorie formulieren:

1. $\forall x\colon x\in autolog\leftrightarrow x\in x$
2. $\forall x\colon x\in heterolog\leftrightarrow x\not \in x$

Leider ist die entstehende Theorie widersprüchlich, da schon allein aus Axiom 2 ein Widerspruch hergeleitet werden kann. Dies benötigt übrigens lediglich Axiom 2 (und die Schlussweise $\forall x\colon \Phi (x)\mid \!\!\!-\Phi (heterolog)$). In der Tat wäre die Theorie sogar widerspruchsfrei geblieben, hätten wir nur Axiom 1 gefordert.

Insbesondere ist die Definition des Adjektivs "heterolog" falsch. Das ist natürlich insofern erstaunlich, als eine Definition normalerweise gar nicht falsch sein kann, höchstens ungeeignet oder leer ("Ein Einhorn ist ..."). Dieser Aspekt gehört auch zur angesprochenen Paradoxie.--Hagman 22:15, 15. Jan. 2008 (CET)

Das ist keine Paradoxie, sondern ein Widerspruch. Eine Definition ist etwas seht starkes, stärker als die Axiome eines Kalküls, das ist nicht allgemein im Bewußtsein, und sie kann dann den Kalkül aushebeln. In der leeren Menge sind nicht nur keine Elemente, sondern auch alle widersprüchlichen, und nur kein Element ist auch nicht in der leeren Menge. Schließlich kann man feststellen, dass wenigstens heterolog $\equiv$ heterolog, also identisch mit sich ist. Das wäre mit obiger Definition aber nicht der Fall. Diese Definition widerspricht logischen Axiomen. Es gibt durchaus einen Kalkül in dem 1 $\to$ 0 widerspruchsfrei folgt. Semantik hilft da auch nicht weiter. Schließlich vermischen sich da die Ebenen: Einmal ist dreisilbig ein Adjektiv, das andere Mal eine Aussage über ein Adjektiv. Vielleicht sollte man diese Ebenen auseinander halten. Ich habe nebenbei ein neues autologes Wort gefunden: monoton--Room 608 17:48, 16. Jan. 2008 (CET)

Einmal ist dreisilbig ein Adjektiv, das andere Mal eine Aussage über ein Adjektiv. Das ist wahr. Man kann den Widerspruch zum Beispiel beseitigen, indem man solche Ebenenmischungen verbietet. Allerdings führt das nur zu einer teilweisen Lösung. Und es ist nicht intuitiv. Wieso soll ich nichts über etwas aussagen können, wenn es "sich selbst" betrifft? Das sind ja geradezu klassische Paradoxien. --Hutschi 11:38, 8. Feb. 2008 (CET)