Diskussion:Kommutatives Diagramm

Seltsame Pfeile

in Quaternion#Fortsetzungen_komplexer_Funktionen wird ein K.D. gezeigt, das verschiedene Pfeiltypen enthält. Diese werden aber weder dort noch in diesem Arikel erklärt. :-( --RokerHRO (Diskussion) 11:19, 30. Jul. 2017 (CEST)

Der $\hookrightarrow$ ist für eine Inklusion (die ist trivialerweise injektiv) und der $\twoheadrightarrow$ für eine Surjektion. Die sind da beide kombiniert, weil eine Injektion immer eine Bijektion in ihre Bildmenge und als solche daher auch surjektiv ist. Bei Einschränkung der Zielmenge auf die Bildmenge ist das also der Fall einer »unechten« Inklusion. Genau genommmen benötigt man dort die erweiterte Definition der Inklusion, weil die Definitionsmenge keine Teilmenge der Zielmenge ist. Dass man überhaupt $\iota _{\varepsilon }(x)=x$ schreiben kann, geht ja auch irgendwie nur, weil $\iota _{\varepsilon }$ ein (semikanonischer?) Körperisomorphismus ist. Die Symbole sind auch hier erläutert. Man könnte die Bedeutung der Symbole dort an der Stelle ja noch nachtragen, wenn schon jemand fragt. --Rumil (Diskussion) 16:54, 27. Nov. 2017 (CET)

Also wenn $X$ und $Y$ disjunkt sind und $\varphi \colon X\to Y$ ein kanonischer Isomorphismus ist, dann kann man ja einfach $x=y$ anstelle von $\varphi (x)=y$ schreiben. Wenn nun auch noch eine Menge $M$ mit $Y\subseteq M$ vorliegt, lässt sich $\varphi$ bei Erweiterung der Zielmenge als Inklusionsabbildung von $X$ in $M$ auffassen. Das motiviert dann den Gedankengang »$X\subseteq M$«. --Rumil (Diskussion) 17:38, 27. Nov. 2017 (CET)

Implizite id-Kringel

Das Diagramm

kann eigentlich nicht kommutieren, da es dafür zwei unterschiedliche Pfade zur selben Zielmenge geben muss die man einschlagen kann. Dies ist erst möglich, nachdem die Kringel $\operatorname {id} _{A}$ und $\operatorname {id} _{B}$ eingezeichnet wurden. Das zu tun ist ziemlich problematisch weil z.B. das folgende Diagramm nicht beschrieben werden kann:

Wenn das kommutiert, dann ist $g\circ f=\operatorname {id} _{A}$, und somit g die Linksinverse von f und f die Rechtsinverse von g, und f ist injektiv und g surjektiv. Das bedeutet aber nicht automatisch dass auch $f\circ g=\operatorname {id} _{B}$ wäre. --Rumil (Diskussion) 16:20, 27. Nov. 2017 (CET)

Gute Klarstellung. Aber wieso folgt aus deinem Diagramm (mit id_A aber nicht id_B) bzw. aus $g\circ f=\operatorname {id} _{A}$, dass f die Rechtsinverse von g wäre? --Liaskian (Diskussion) 20:00, 28. Mai 2018 (CEST)

Ach, vergiss die Frage, natürlich folgt das. Nun bleibt für mich noch die Frage, warum bzw. ob du das Einzeichnen beider id-Kringel (im Kontext des Artikels) für problematisch hältst? --Liaskian (Diskussion) 08:42, 30. Mai 2018 (CEST)