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PASCH’S PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

Published online by Cambridge University Press:  25 January 2010

DIRK SCHLIMM
DIRK SCHLIMM*
Affiliation:
Department of Philosophy, McGill University
*
*DEPARTMENT OF PHILOSOPHY, McGILL UNIVERSITY, 855 SHERBROOKE ST. W., MONTREAL, QC H3A 2T7, CANADA. E-mail: dirk.schlimm@mcgill.ca
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Abstract

Moritz Pasch (1843–1930) gave the first rigorous axiomatization of projective geometry in his Vorlesungen über neuere Geometrie (1882), in which he also clearly formulated the view that deductions must be independent from the meanings of the nonlogical terms involved. Pasch also presented in these lectures the main tenets of his philosophy of mathematics, which he continued to elaborate on throughout the rest of his life. This philosophy is quite unique in combining a deductivist methodology with a radically empiricist epistemology for mathematics. By taking into consideration publications from the entire span of Pasch’s career, the latter decades of which he devoted primarily to careful reflections on the nature of mathematics and of mathematical knowledge, Pasch’s highly original, but virtually unknown, philosophy of mathematics is presented.

Type
Research Article
Information
The Review of Symbolic Logic , Volume 3 , Issue 1 , March 2010 , pp. 93 - 118
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 2010

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References

BIBLIOGRAPHY

Boniface, J. (2004). Hilbert et la notion d’existence en mathématiques. Mathesis. Paris, France: J. Vrin.Google Scholar
Boniface, J. (2007). The concept of number from Gauss to Kronecker. In Goldstein, C., Schappacher, N., and Schwermer, J., editors. The Shaping of Arithmetic After C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae. Berlin: Springer, pp. 315–342.Google Scholar
Contro, W. S. (1976). Von Pasch zu Hilbert. Archive for History of Exact Sciences, 15(3), 283–295.CrossRefGoogle Scholar
Dedekind, R. (1872). Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig, Germany: Vieweg. Reprinted in Dedekind (1932a), pp. 315–334. English translation Continuity and Irrational Numbers in Ewald (1996), pp. 765–779.Google Scholar
Dedekind, R. (1888). Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig, Germany: Vieweg. Reprinted in Dedekind (1932a), pp. 335–391. English translation in Ewald (1996), pp. 787–833.Google Scholar
Dedekind, R. (1932a). Gesammelte mathematische Werke, Vol. 3. Braunschweig, Germany: F. Vieweg & Sohn. Edited by Robert, Fricke, Emmy, Noether, and Öystein, Ore.Google Scholar
Dehn, M. (1928). Moritz Pasch. Zum fünfundachtzigsten Geburtstag am 8. 11. 1928. Die Naturwissenschaften, 16(44), 813–815.CrossRefGoogle Scholar
Detlefsen, M. (2005). Formalism. In Shapiro, S., editor. Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford: Oxford University Press, pp. 236–317.CrossRefGoogle Scholar
Dingler, H. (1915).Das Prinzip der logischen Unabhängigkeit in der Mathematik, zugleich als Einführung in die Axiomatik. München, Germany: Theodor Ackermann.Google Scholar
DiSalle, R. (1993). Helmholtz’s empiricist philosophy of mathematics. In Cahan, D., editor. Hermann von Helmholtz and the Foundations of 19th Century Science. Los Angeles, CA: University of California Press, pp. 498–521.Google Scholar
Du Bois-Reymond, P. (1882). Die allgemeine Funktionentheorie. Erster Teil. Metaphysik und Theorie der mathematischen Grundbegriffe: Größe, Grenze, Argument, und Funktion. Tübingen, Germany: H. Laupp. There is only this part.Google Scholar
Ehrlich, P. (2006). The rise of non-Archimedean mathematics and the roots of a misconception I: The emergence of non-Archimedean systems of magnitudes. Archive for History of Exact Sciences, 60, 1–121.CrossRefGoogle Scholar
Engel, F., & Dehn, M. (1931). Moritz Pasch. Zwei Gedenkreden, gehalten am 24. Januar 1931. Giessen, Germany: Töpelmann.Google Scholar
Engel, F., & Dehn, M. (1934). Moritz Pasch. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 44(5/8), 120–142. Reprint, with changes and additions, of Engel & Dehn (1931).Google Scholar
Ewald, W. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in Mathematics. Oxford, UK: Clarendon Press. Two volumes.Google Scholar
Frege, G. (1980). Philosophical and Mathematical Correspondence. University of Chicago Press. Edited by Gottfried, Gabriel, Hans, Hermes, Friedrich, Kambartel, Christian, Thiel, and Albert, Veraart.Google Scholar
Freudenthal, H. (1962). The main trends in the foundations of geometry in the 19th century. In Nagel, E., Suppes, P., and Tarski, A., editors. International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science (1960: Stanford, Calif.), Logic, Methodology, and Philosophy of Science. Stanford, CA: Stanford University Press, pp. 613–621.Google Scholar
Friedman, M. (1985). Kant’s theory of geometry. The Philosophical Review, 94(4), 455–506.CrossRefGoogle Scholar
Gabriel, G. (1978). Implizite Definitionen — Eine Verwechslungsgeschichte. Annals of Science, 35, 419–423.CrossRefGoogle Scholar
Gandon, S. (2005). Pasch entre Klein et Peano: empirisme et idéalité en géométrie. Dialogue, 44: 4, 653–692.CrossRefGoogle Scholar
Gandon, S. (2006). La réception des Vorlesungen über neuere Geometrie de Pasch par Peano. Revue d’historie des mathématiques, 12(2), 249–290.Google Scholar
Gray, J. (2007). Worlds Out of Nothing. A Course in the History of Geometry in the 19th Century. London: Springer.Google Scholar
Greenberg, M. J. (1993). Euclidean and non-Euclidean Geometries: Development and History (third edition). New York, NY: W.H. Freeman.Google Scholar
Hallett, M., & Majer, U., editors (2004). David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry 1891–1902. Berlin, Germany: Springer.CrossRefGoogle Scholar
Harré, R. (2003). Positivist thought in the nineteenth century. In Baldwin, T., editor. The Cambridge History of Philosophy 1870–1945. Cambridge: Cambridge University Press, pp. 11–26.Google Scholar
Hartwich, Y. (2005). Eduard Study (1862–1930)—ein mathematischer Mephistopheles im geometrischen Gärtchen. PhD Thesis, Department of Mathematics, Johannes Gutenberg Universität, Mainz.Google Scholar
Hempel, C. G. (1945). Geometry and empirical science. American Mathematical Monthly, 52(1), 7–17.CrossRefGoogle Scholar
Hersh, R. (1991). Mathematics has a front and a back. Synthese, 88(2), 127–133.CrossRefGoogle Scholar
Hilbert, D. (1899). Grundlagen der Geometrie. Leipzig, Germany: Teubner. Reprinted in Hallett & Majer (2004), pp. 436–525. English translation The Foundations of Geometry, Open Court, Chicago, 1902.Google Scholar
Hilbert, D. (1900). Mathematische Probleme. Vortrag gehalten auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 253–297. English translation ‘Mathematical Problems’, in Ewald (1996), pp. 1096–1105.Google Scholar
Hilbert, D. (1905). Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik. In Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 174–185. English translation ‘On the Foundations of Logic and Arithmetic’, in van Heijenoort (1967), pp. 129–138.Google Scholar
Hilbert, D. (1922). Neubegründung der Mathematik. Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1, 157–177. English translation ‘The New Grounding of Mathematics. First Report’, in Ewald (1996), pp. 1115–1134.CrossRefGoogle Scholar
Hilbert, D. (1923). Die logischen Grundlagen der Mathematik. Mathematische Annalen, 88, 151–165. English translation ‘The Logical Foundations of Mathematics’, in Ewald (1996), pp. 1134–1148.CrossRefGoogle Scholar
Hoppe, R. (1882). Review of Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 14, 197.2.Google Scholar
Jesseph, D. M. (1993). Berkeley’s Philosophy of Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press.CrossRefGoogle Scholar
Kennedy, H. C. (1972). The origins of modern axiomatics: Pasch to Peano. American Mathematical Monthly, 79, 133–136.CrossRefGoogle Scholar
Kennedy, H. C., editor. (1973). Selected Works of Giuseppe Peano. Toronto, Canada: Toronto University Press.CrossRefGoogle Scholar
Klein, F. (1871). Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Mathematische Annalen, 4(4), 573–625. Reprinted in Klein (1921), ch. 16, pp. 254–305.CrossRefGoogle Scholar
Klein, F. (1873a). Ueber den allgemeinen Functionsbegriff und dessen Darstellung durch eine willkürliche Curve. Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen. December 8. Reprinted in Klein (1883) and in Klein (1922), ch. 45, pp. 214–224.Google Scholar
Klein, F. (1873b). Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz). Mathematische Annalen, 6, 112–145. Reprinted in Klein (1921), ch. 18, pp. 311–343.CrossRefGoogle Scholar
Klein, F. (1883). Ueber den allgemeinen Functionsbegriff und dessen Darstellung durch eine willkürliche Curve. Mathematische Annalen, 22(2), 249–259. Reprint of Klein (1873a). Reprinted in Klein (1922), ch. 45, pp. 214–224.CrossRefGoogle Scholar
Klein, F. (1890). Zur Nicht-Euklidischen Geometrie. Mathematische Annalen, 37(4), 544–572. Reprinted in Klein (1921), ch. 21, pp. 353–383. Discussion of the lectures held in the Winter Semester 1889/90, published as Klein (1892).CrossRefGoogle Scholar
Klein, F. (1892). Nicht-Euklidische Geometrie. Göttingen, Germany. Litographed notes (autograph) worked out by Friedrich Schilling of lectures held in Winter Semester 1889/90 in Göttingen.Google Scholar
Klein, F. (1895). Über Arithmetisierung der Mathematik. Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (2). Reprinted in Klein (1922), ch. 42, pp. 232–240.Google Scholar
Klein, F. (1921). Gesammelte mathematische Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer. Edited by Fricke, R. and Ostrowski, A., with additions by F. Klein.CrossRefGoogle Scholar
Klein, F. (1922). Gesammelte mathematische Abhandlungen, Vol. 2. Berlin: Springer. Edited by Fricke, R. and Vermeil, H., with additions by F. Klein.Google Scholar
Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York, NY: Oxford University Press.Google Scholar
Majer, U. (2004). Husserl and Hilbert on geometry. In Feist, R., editor. Husserl and the Sciences: Selected Perspectives. Ottawa, Canada: University of Ottawa Press, pp. 101–120.Google Scholar
Marchisotto, E., & Smith, J. T. (2007). The Legacy of Mario Pieri in Geometry and Arithmetic. Boston, MA: Birkhäuser.Google Scholar
Mill, J. S. (1851). A System of Logic, Ratiocinative and Inductive: Being a Connected View of the Principles of Evidence, and the Methods of Scientific Investigation (third edition). London: J.W. Parker.Google Scholar
Nagel, E. (1939). The formation of modern conceptions of formal logic in the development of geometry. Osiris, 7, 142–223.CrossRefGoogle Scholar
Nagel, E. (1961). The Structure of Science. Problems in the Logic of Scientific Explanation. New York, NY: Harcourt, Brace and World.Google Scholar
Pasch, M. (1882a). Vorlesungen über Neuere Geometrie. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.Google Scholar
Pasch, M. (1882b). Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.Google Scholar
Pasch, M. (1887a). Ueber die projective Geometrie und die analytische Darstellung der geometrischen Gebilde. Mathematische Annalen, 30, 127–131.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1887b). Ueber einige Punkte der Functionentheorie. Mathematische Annalen, 30, 132–154.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1894). Ueber den Bildungswert der Mathematik. Giessen, Germany: Grossh. Hof- und Universitäts-Druckerei von Münchow.Google Scholar
Pasch, M. (1909). Grundlagen der Analysis. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.Google Scholar
Pasch, M. (1912). Vorlesungen über Neuere Geometrie (second edition, with additions). Leipzig, Germany, B.G. Teubner.Google Scholar
Pasch, M. (1914). Veränderliche und Funktion. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.Google Scholar
Pasch, M. (1916). Hugo Dingler. Das Prinzip der logischen Unabhängigkeit in der Mathematik (1915). Archiv der Mathematik und Physik, 24, 275–277.Google Scholar
Pasch, M. (1917). Grundfragen der Geometrie. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 147, 184–190.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1918a). Die Forderung der Entscheidbarkeit. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 27, 228–232.Google Scholar
Pasch, M. (1918b). Über die Erweiterung des Grenzbegriffs. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 27, 232–234.Google Scholar
Pasch, M. (1919). Mathematik und Logik. Vier Abhandlungen. Leipzig, Germany: W. Engelmann. Contains: I. Über innere Folgerichtigkeit (1915). II. Über den Bildungswert der Mathematik (1894). III. Forschen und Darstellen (Mai 1916). IV. Der Aufbau der Geometrie (November 1917).Google Scholar
Pasch, M. (1920). Die Begründung der Mathematik und die implizite Definition. Ein Zusammenhang mit der Lehre vom Als-Ob. Annalen der Philosophie, 2(2), 144–162.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1922). Physikalische und mathematische Geometrie. Annalen der Philosophie, 3(3), 362–374.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1924a). Mathematik und Logik. Vier Abhandlungen (second edition). Leipzig, Germany: Wilh. Engelmann.Google Scholar
Pasch, M. (1924b). Betrachtungen zur Begründung der Mathematik. Mathematische Zeitschrift, 20, 231–240.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1925). Begriffsbildung und Beweis in der Mathematik. Annalen der Philosophie, 4, 348–367, 417–426. Reprinted in Pasch (1927).CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1926a). Vorlesungen über Neuere Geometrie (second, revised edition). Berlin: Springer. With an appendix Die Grundlegung der Geometrie in historischer Entwicklung by Max Dehn.Google Scholar
Pasch, M. (1926b). Betrachtungen zur Begründung der Mathematik (Zweite Abhandlung). Mathematische Zeitschrift, 25, 166–171.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1926c). Die axiomatische Methode in der neueren Mathematik. Annalen der Philosophie, 5, 241–274. Reprinted in Pasch (1927).CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1927). Mathematik am Ursprung. Gesammelte Abhandlungen über Grundfragen der Mathematik. Leipzig, Germany: Felix Meiner.Google Scholar
Pasch, M. (1930a). Der Ursprung des Zahlbegriffs. Berlin: Springer.CrossRefGoogle Scholar
Pasch, M. (1930b). Eine Selbstschilderung. Gießen, Germany: von Münchowsche Universitäts-Druckerei. Reprinted in Pasch (1980).Google Scholar
Pasch, M. (1980). Eine Selbstschilderung. Mitteilungen des mathematischen Seminars Giessen, 146, 1–19.Google Scholar
Peano, G. (1889a). Arithmetices Principia, nova methodo exposita. Torino, Italy: Bocca. English translation The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method in Kennedy (1973), pp. 101–134. Partial translation in van Heijenoort (1967), pp. 81–97.Google Scholar
Peano, G. (1889b). I principi di geometria logicamente esposti. Torino, Italy: Fratelli Bocca. Reprinted in Opere scelte, Vol. 2., Roma, Italy: Edizioni Cremonese, pp. 56–91.Google Scholar
Pickert, G. (1980). Habilitation und Vorlesungstätigkeit von Moritz Pasch. Mitteilungen des mathematischen Seminars Giessen, 146, 46–57.Google Scholar
Pickert, G. (1982). Moritz Pasch, 1843–1930, Mathematiker. In Gundel, H. G., Morav, P., and Press, V., editors. Gießener Gelehrte in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, Volume 35 of Lebensbilder aus Hessen, pp. 704–713. Veröffentlichungen der Historischen Kommission für Hessen. Reprinted in Tamari (2007, pp. 262–272).Google Scholar
Pressman, H. M. (1997). Hume on geometry and infinite divisibility in the Treatise. Hume Studies, 23(2), 227–244.CrossRefGoogle Scholar
Reichenbach, H. (1938). Experience and Prediction. An Analysis of the Foundations and the Structure of Knowledge. Chicago, IL: University of Chicago Press.Google Scholar
Reichenbach, H. (1957). The Philosophy of Space and Time. New York, NY: Dover Publications Inc. English translation of Die Philosophie der Raum-Zeit Lehre, De Gruyter, Berlin, 1928.Google Scholar
Riemann, B. (1854). Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868). Reprinted in Riemann (1876), pp. 254–269. English translation in Ewald (1996), Vol. 2.Google Scholar
Riemann, B. (1876). Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass. Leipzig, Germany: Teubner. Edited by Weber, Heinrich, with the assistance of Richard Dedekind. Second edition 1892, with different pagination, reprinted by Dover, New York, 1953.Google Scholar
Rosanes, J. (1871). Ueber die neuesten Untersuchungen in Betreff unserer Anschauung vom Raume. Breslau: Maruschke & Berendt. Habilitation lecture held on April 30, 1870, in Breslau.Google Scholar
Russell, B. (1903). Principles of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. Second edition 1938.Google Scholar
Shapiro, S. (1997). Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. Oxford, UK: Oxford University Press.Google Scholar
Tamari, D. (2007). Moritz Pasch (1843–1930). Vater der modernen Axiomatik. Seine Zeit mit Klein und Hilbert und seine Nachwelt. Eine Richtigstellung. Aachen, Germany: Shaker Verlag.Google Scholar
Thaer, A., & Lony, G. (1915). Lehrbuch der Mathematik. Breslau: Ferdinand Hirt. Ausgabe B, Für Oberrealschulen, Realgymnasien und verwandte Anstalten. Bd. 1, Unterstufe.Google Scholar
Torretti, R. (1978). Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré. D. Reidel, Dordrecht, Holland.CrossRefGoogle Scholar
van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel: A Sourcebook of Mathematical Logic. Cambridge, MA: Harvard University Press.Google Scholar
Veronese, G. (1894). Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt. Leipzig, Germany: B. G. Teubner. Translated by Adolf Schepp.Google Scholar
Volkert, K. T. (1986). Die Krise der Anschauung. Göttingen, Germany: Vandenhoeck & Ruprecht.Google Scholar
von Helmholtz, H. (1866). Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie. Verhandlungen des historisch-medicinischen Vereins zu Heidelberg, 4, 197–202. Appendix printed 5, 31–32, 1869. Reprinted in Wissenschaftliche Abhandlungen, Vol. 2, pp. 618–639, J. A. Barth, Leipzig, 1883.Google Scholar
von Helmholtz, H. (1876). Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. In Populäre wissenschaftliche Vorträge, Vol. 3. Braunschweig, Germany: Vieweg. First published 1870. Reprinted in Vorträge und Reden (fifth edition), Vol. 2, pp. 1–31. English translation ‘On the origin and significance of the axioms of geometry’, in von Helmholtz et al. (1977), pp. 1–38.Google Scholar
von Helmholtz, H., Hertz, P., Schlick, M., Lowe, M. F., Cohen, R. S., and Elkana, Y. (1977). Epistemological Writings: The Paul Hertz/Moritz Schlick Centenary Edition of 1921 With Notes and Commentary by the Editors. Dordrecht, Holland: D. Reidel Pub. Co.CrossRefGoogle Scholar
Weber, H., & Wellstein, J. (1905). Encyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende, Vol. 2: Elemente der Geometrie. Leipzig, Germany: B.G. Teubner.Google Scholar