Hajaantuva sarja

Hajaantuva sarja määritellään matematiikassa äärettömänä, ei-suppenevana sarjana. Tämä tarkoittaa, ettei äärettömien lukujonojen sarjojen osasummilla ole raja-arvoa.

Sarja voi supeta vain, jos sen yksittäiset jäsenet lähestyvät nollaa. Toisin sanoen kaikki sarjat, joiden yksittäiset jäsenet eivät lähesty nollaa, hajaantuvat. Kuitenkaan eivät kaikki sellaisetkaan sarjat, joiden termit lähestyvät nollaa, suppene. Yksinkertaisin vastaesimerkki on harmoninen sarja.

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.$

Nicole Oresme todisti harmonisen sarjan hajaantumisen jo keskiajalla.

Joissakin erityistapauksista sarjoille löytyy valmiiksi ratkaistu raja-arvo. Esimerkiksi Cesàron summa yhdistää Grandin hajaantuvan sarjan

$1-1+1-1+\cdots$

lukuarvoon ½ . Cesàron summaa käytetään sarjojen jatkuvuutta arvioidessa.

Hajaantuvien sarjojen summien teoreemat

Summa- eli summausmenetelmää voidaan kutsua säännölliseksi, mikäli se on yhtenevä suppenevan sarjan ehtojen kanssa. Säännöllistä summamenetelmää voidaan kutsua Abelin teoreemaksi. Alfred Tauberin kehittämiä Tauberin teoreemaa pidetään yleisesti matemaattisesti mielenkiintoisempina, mutta se soveltuu paremmin suppenevien sarjojen tutkimiseen.

Mikäli suppenevien sarjojen summafunktio on lineaarinen, voidaan Hahn-Banachin teoreeman perusteella menetelmää käyttää yleisesti kaikkien sarjojen vastaavien osasummien laskemiseen. Lineaarisuuden todistamien käytännön laskuissa vaatii kuitenkin harrastuneisuutta.

Hajaantuvien sarjojen matemaattinen analyysi perustuu Abelin, Cesàron ja and Borelin summien käyttöön. Hajaantuvien sarjojen summamenetelmällä on yhteys numeeriseen sekvenssin ekstrapolointiin, kvanttimekaniikassa käytettäviin paikkariippumattomaan kartoitukseen sekä Fourier-analyysissä käytettävään Banachin algebraan.

Summamenetelmien ominaisuuksista

Summamenetelmät keskittyvät yleensä sarjan osasummaan sekvenssiin. Mikäli tämä sekvenssi ei suppene, voidaan sekvenssiä laajentaa ja tämän uuden alueen keskiarvoa voidaan usein käyttää sarjan summan arvioimiseen raja-arvon sijasta. Eli a = a₀ + a₁ + a₂ + ..., voidaan tutkia sekvenssiä s, s₀ = a₀ ja s_n+1 = s_n + a_n+1 Mikäli kyseessä on suppeneva alue, se lähestyy raja-arvoa a. Summamenetelmä (A) voidaan nähdä sekvenssien osasummien ja niiden arvojen funktiona. Vastaavasti sarjojen summamenetelmässä kyseiset lukuarvot liittyvät vastaaviin sarjoihin. Seuraavien ehtojen täyttyessä raja-arvojen ja summien arviointi onnistuu:

1. Säännöllisyys. Summamenetelmä on säännöllinen, jos sekvenssi s suppenee kohti x:ää, A(s) = x.. Vastaavan sarjan summamenetelmä on ekvivalentisti A^Σ(a) = x.
2. Lineaarisuus. A on lineaarinen, jos se on lineaarisessa suhteessa lukujonoon, jossa se on määritelty. Esimerkiksi A(r + s) = A(r) + A(s) ja A(ks) = k A(s),, missä k on skalaari (reaalinen tai kompleksinen). Koska sarjan a termit a_n = s_n+1 − s_n ovat lineaarisessa suhteessa sekvenssiin ja sekvenssi termeihin on A^Σ lineaarisessa suhteessa sarjan termeihin.
3. Stabiilisuus. A(s) on määritelty, jos s on s₀ alkava sekvenssi ja sekvenssi s′ saadaan s′_n = s_n+1 − s₀. Jos ja vain jos A(s′) on määritelty, saadaan A(s) = s₀ + A(s′). Ekvivalentisti voidaan todeta, että mikäli a′_n = a_n+1 kaikilla n, niin A^Σ(a) = a₀ + A^Σ(a′).

Esimerkiksi Borelin summassa kolmas ehto ei ole lähtöoletuksena.

Kahden eri summausmenetelmän A ja B toivottava ominaisuus on jatkuvuus. A ja B ovat jatkuvia, mikäli jokaisella tutkitulla sekvenssillä s molempien arvot ovat samat eli A(s) = B(s). Summausmenetelmien vahvuuksia voidaan vertailla: Vahvempana pidetään sitä, joka soveltuu useamman sarjan summien laskemiseen.

Vaikka summamenetelmä olisi epäsäännöllinen ja epälineaarisia, se voi silti olla vahva ja omata käytännön sovellutuksia. Tällaisista esimerkki on Padén approksimointi.

Aksiomaattiset menetelmät

Monia hajaantuvia sarjoja voidaan summata ottamalla aksioomiksi säännöllisyys, lineaarisuus ja vakaus. Esimerkkinä geometrisen sarjan arviointi (aina, kun r ≠ 1,),

${\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\mbox{ (stabilisuus) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\mbox{ (lineaarisuus) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\mbox{ jossa }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},&&\\\end{aligned}}$

kun r on yhtä suurempi reaaliluku osasummat kasvavat rajatta ja keskiarvomenetelmät lähenevät ääretöntä.

Nörlundin keskiarvo

Olkoon p_n positiivisterminen lukujono, joka alkaa p₀:sta. Oletetaan myös, että

${\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.$

Käyttämällä painotettua keskiarvoa saamme muokattua lukujonon

$t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}$

jossa (n:n lähestyessä ääretöntä) tn raja-arvoa kutsutaan Nörlundin keskiarvoksi, N_p(s). Nörlundin keskiarvo on säännöllinen, lineaarinen ja vakaa. Huomioitavaa on, että kaksi satunnaisesti valittua Nörlundin keskiarvoa ovat yhtäpitäviä. Merkittävimpiä Nörlundin keskiarvoista ovat Cesàron summat. Kun lukujono p^k määritellään

$p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}$

on Cesàron summan määritelmä C_k(s) = N_(p^k)(s). Cesàron summat ovat Nörlundin keskiarvoja, mikäli k ≥ 0. Säännöllisistä, lineaarisista, vakiosta sekä yhtäpitävistä summista C₀ on tavallinen yhteenlasku ja C₁ taas Cesàron summakaava. Cesàron summista on mainittava, että mikäli h > k,, niin C_h on C_k vahvempi.

Abelin keskiarvo

Olkoon λ = {λ₀, λ₁, λ₂, ...} kohti ääretöntä kasvava lukujono jaλ₀ ≥ 0. a_n = s_n+1 − s_n osassummat muodostavat jonon s. Oletetaan, että

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)$

suppenee kaikilla reaaliluvuilla x. Abelin keskiarvo määritellään tällöin

$A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).$

Tällaiset sarjat tunnetaan yleisemmin Dirichlet'n sarjoina, joita sovelletaan fysiikassa. Abelin keskiarvot ovat säännöllisiä, lineaarisia ja vakioita, mutta eivät aina yhtäpitäviä eri λ:n arvoilla. Niistä osaa voidaan hyödyntää yhteenlaskumenetelmissä.

Abelin summa

Abelin yhteenlaskukaava saadaan, kun λ_n = n, λn = n. Kaava on

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-nx)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$

missä z = exp(−x). X:n lähestyessä nollaa positiivilta puolelta f(x) raja-arvo lähestyy potenssisarjan ƒ(z) raja-arvoa, kun z lähestyy yhtä positiivisten reaalilukujen kautta. Tällöin Abelin summa A(s) määritellään

$A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.$

Abelin summa on säännöllinen, lineaarinen, stabiili sekä yhtäpitävä Cesàron yhteenlaskukaavan kanssa. Abelin kaavasta tekee käyttökelpoisemman se, että : A(s) = C_k(s) voidaan myöhemmin määritellä halutuksi.

Lindelöfin summa

Jos λ_n = n ln(n), niin alaindeksien lähtiessä yhdestä saadaan

$f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .$

Silloin L(s), Lindelöfin summa (Volkov 2001), on ƒ(x):n raja-arvo, kun x lähestyy nollaa. Lindelöfin summa soveltuu potenssisarjojen summan laskemiseen kompleksianalyysin alaan kuuluvassa Mittag-Lefflerin tähdessä.

Katso myös

• Suppeneminen

Lähteet

• Volkov, I.I (2001), " Cesaro summation methods", Encylopedia of Mathematics, Springer
• Hardy, G.H (1949), Divergent Series, Oxford: Clarendon Press.

Aiheesta muualla

• [1] Hajaantuva sarja Mathword Woflframissa
• [2] Hajaantuva sarja Mathwordissa
• [3] Abelin teoreemasta Planetmathissa
• [4] Abelin teoreema Mathworld Woflframissa
• [5] Encyclopaedia of Mathematics, Mittag-Leffler star
• [6] Paden aproksimointi
• [7] Encyclopaedia of Mathematics, Tauberin teroreema