Discussion:Relation binaire

Fusion de page de discussion

Le 25 octobre 2011 à 21:41, depuis [[Discussion:Correspondance et relation]].

Titre d'article et casse

pourquoi ce R majuscule à relations dans le titre ? Al ☮ 4 avr 2005 à 17:25

réponse : que celui qui sait comment le remplacer par une minuscule le fasse!

194.214.213.67 15 avr 2005 à 19:33

Les conventions de wikipedia sont plutôt d'écrire Correspondance et relation (sans pluriel, ni majuscule). Pour renommer l'article, il vous suffit de cliquer sur l'onglet "renommer". HB 17 avr 2005 à 21:07

Je veux bien, mais où se cache cet onglet ?

194.214.213.67 18 avr 2005 à 14:24

Damned! C'est interdit aux IP! je m'en charge donc. HB 18 avr 2005 à 15:21

Relation (binaire) et correspondance

Dans de nombreux ouvrages, la relation ne nécessite pas de travailler sur le même ensemble. La définition d'une relation correspond alors à la définition de la correspondance dans cet article. Dans l'article relation binaire, le parti a été pris de concevoir des relations d'un ensemble E sur un ensemble F HB 15 avr 2005 à 11:11

réponse : les deux premières phrases ci-dessus sont tout à fait exactes, mais il s'agit de relations TOUT COURT, et non de relations BINAIRES! Or, si on relit soigneusement l'article « Relation binaires », on s'aperçoit qu'il y a confusion entre les deux notions. Quel problème cela pose-t-il ? Par exemple, si l'ensemble E est le carré cartésien de F, nous obtenons une relation de FxF dans F. Cette relation "binaire" est aussi ternaire !

En fait, la notion d'arité d'une relation n'a de sens que lorsque l'ensemble de départ est une puissance cartésienne de l'ensemble d'arrivée, ou le produit de cette puissance par un autre ensemble. En particulier, une relation ne peut être qualifiée de binaire que si les ensembles de départ et d'arrivée sont les mêmes.

Beaucoup de gens font la confusion entre relation générale et relation binaire, parce qu'ils voient dans le cas général DEUX ensembles, ceux de départ et d'arrivée. Mais dans ce cas, toutes les relations sont binaires, alors pourquoi se compliquer la vie à préciser binaires ? ( en fait, si « binaire » est précisé, c'est parce qu'il existe des relations par exemple ternaires : ce qui compte, c'est le nombre de fois où l'ensemble d'arrivée intervient ).

C'est pour lever l'ambiguïté entre relations générales et relations binaires qu'il vaut mieux employer le terme de correspondance (un ancien synonyme) dans le cas général et réserver le terme de relation aux cas où la notion d'arité a un sens.

194.214.213.67 15 avr 2005 à 19:33

Je suis d'accord avec vous, avec la définition que je donne, toute relation peut être considérée comme binaire. Le fait de la définir comme ternaire ou n-aire devient seulement un point de vue sur les ensembles étudiés. Vous avez (et vous n'êtes pas le seul) semble-t-il une nouvelle manière de présenter les choses. Il n'y a donc que de vieux croûtons comme moi, l'upmf de grenoble, le département de math-info de l'université de Nice, l'université de Montpellier et le Mac Lane et Birkhoff (édition 71) pour accepter les relations binaires entre deux ensembles différents. Les temps changent, essayons de faire coexister avec prudence les deux notions. Bonne continuation. HB 17 avr 2005 à 20:57

Après un week-end de réflexion, je crois qu'il est possible de faire mieux que coexister : il me semble que si, de mon côté, j'accepte l'existence de relations binaires entre ensembles différents, et si, de votre côté, vous acceptez que certaines relations d'un ensemble E dans un ensemble F ne sont pas binaires (par exemple, pour fixer les idées, dans le cas où E = FxF ), alors nous pouvons aboutir à une définition commune et cohérente de la notion de relation binaire. Qu'en pensez-vous ?

194.214.213.67 18 avr 2005 à 14:24

Excellente idée, les deux articles gagneront en cohérence. Reste à savoir si nous ne sommes pas en train de refaire les maths ( ;-) )HB 18 avr 2005 à 15:21

Liens et bibliographie

Bonjour,

Je tiens en premier lieu à féliciter les auteurs-contributeurs de cet article (194.214.213.67 et HB principalement) ! C'est avec un vrai régal que j'ai parcouru cet exposé sur les correspondances avec une approche (enfin ?) générale sur les relations, claire et relativement exhaustive (à mon humble avis).

Une bibliographie et/ou une liste de liens Internet sur le sujet enrichiraient davantage cet article en proposant des compléments (suggestion d'ouvrages pédagogiques, de synthèse...) ou des approfondissements théoriques (travaux de recherche récents, problèmes ouverts...). Je lancerais donc un appel sur ce point.

Bien amicalement, --nha de Lyon. 3 août 2006 à 01:02

P.S. = Je regrette un peu de ne pas savoir qui écrit aussi bien derrière l'adresse IP 194.214.213.67 tout en respectant les raisons de cet anonymat relatif intentionnel ou non. :-) Je ne peux qu'imaginer combien ses éventuels travaux de recherche doivent être intéressants (à mon goût) ou combien ses idées bibliographiques sur le sujet seraient pertinentes pour une bonne partie des thématiques de recherche de mon domaine.

Sur les appellations des propriétés des correspondances liées à la notion de fonction

Quelqu'un a ajouté comme synonyme à la notion de correspondance fonctionnelle celle de "correspondance déterministe" (sic), et comme synonyme à correspondance applicative, "correspondance totale" (re-sic).

Je suppose que ces appellations reposent sur les raisons suivantes :

¤ une correspondance fonctionnelle associe au plus une image à tout élément de l'ensemble de départ; ce dernier a donc, si elle existe, une image parfaitement déterminée, et il est ainsi tentant de qualifier cette correspondance de « déterministe »;

¤ une correspondance applicative associe au moins une image à tout élément de l'ensemble de départ; tout élément de départ a donc au moins une image, et il est ainsi tentant de qualifier cette correspondance de « totale »...

En règle générale, je laisse passer les variantes des définitions qui sont rajoutées par d'autres contributeurs. Mais ici, elles entrent en contradiction avec d'autres définitions :

¤ si on acceptait l'appellation « correspondance déterministe » comme synonyme de correspondance fonctionnelle, elle serait alors aussi synonyme de fonction; par conséquent, une "fonction aléatoire" serait alors une "correspondance déterministe aléatoire". Or, "déterministe" et "aléatoire" sont deux qualificatifs contradictoires !

¤ la notion de relation totale est déjà définie par ailleurs (voir l'article « Relation binaire ») avec un sens totalement différent.

Ces appellations sèment donc la confusion, contribuant à un effet "Tour de Babel" où personne ne se comprend plus. Elles sont donc inacceptables et, à moins que leurs raisons d'être ne soient autrement plus solides que celles données plus haut, elles ne doivent pas figurer dans le corps du texte. On peut à la rigueur les garder en remarque, mais avec tous les caveat et autres garde-fous nécessaires...

194.214.213.67 aka/alias 80.118.33.228 (d) 21 février 2008 à 15:12

Bonjour,

il y a une incohérence entre la définition de fonction donnée ici, qui dit qu'un élément de l'ensemble de départ peut avoir une ou 0 image, et la définition de fonction (http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_et_application#D.C3.A9finition) qui dit qu'il a exactement une image. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 79.82.4.122 (discuter), le 10 janvier 2009.

Vocabulaire etc.

• Le terme de correspondance n'est plus guère utilisé, et c'est fait apparemment en connaissance de cause (je lis plus haut « ... il vaut mieux employer le terme de correspondance (un ancien synonyme) ... », mais ce n'est pas ici que l'on réforme le vocabulaire mathématiques : je propose de dire relation ;
• fonction/application (déjà relevé) ci-dessus : je propose de renvoyer à l'article en question (et d'élaguer ici) ;
• D'où sort le principe qui est de chercher une notion intrinsèque d'arité des relations, en faisant intervenir la nature des ensembles de départ et d'arrivée ? Ca ne me semble pas du tout universel. Une référence bibliographique serait bienvenue.
• Plus généralement certaines définitions et notations semblent à tort présentées comme universelles.
• Faut-il vraiment s'encombrer des classes propres dans ce genre d'article ?

Tout est présenté de façon très formaliste, peu d'exemples, souvent artificiels. Pour les relation scalaires etc. y-a-t-il d'autres exemples que des applications ? Il faudrait vraiment que l'on sache d'où sort tout ça, et peut-être songer à regrouper avec relation binaire. Proz (d) 3 octobre 2009 à 01:44 Il y a eu une discussion en rapport avec ceci ici discussion:Espace vectoriel#Vocabulaire. Un petit état des lieux au sujet des articles sur les relations : j'ai déposé des bandeaux de pertinence sur relation ternaire interne, relation ternaire externe, et relation scalaire, (très peu liés) autant pour le contenu que pour le titre, pour loi de composition externe (contenu, et l'article loi de composition suffit), redirigé les liens pointant vers le premier vers le second. L'article actuel est cible de beaucoup de liens. Les problèmes sont posés ci-dessus, les principaux étant l'utilisation datée du terme "correspondance" et surtout les développements sur l'arité (tout la section 4, "Relations n-aires", un point de vue non sourcé et que je n'ai jamais vu ailleurs (en général l'arité n'est pas "intrinsèque" mais définie avec la relation, on décide en la définissant que telle relation est vue comme ternaire sur un ensemble, c'est assez indispensable par exemple en théorie des modèles, où on va travailler sur des structures sans avoir dans le langage les couples et produits cartésiens. Le cas le plus courant est bien sûr celui des relations binaires.

Je propose d'assez vite supprimer la section "Relations n-aires". Maintenant en quoi cet article se distinguera de ([relation binaire]] ? Faut-il un article à part sur les relations n-aires comme en:finitary relation (qui donne de plus les deux façons de définir une relation) ? Ou bien un seul article relation (mathématiques) avec un paragraphe sur la généralisation à une arité quelconque ? Comment renommer l'article ? Quelles sources utiliser ? Proz (d) 7 novembre 2009 à 16:51 PS. Gros nettoyage à prévoir aussi sur les fonctions (renvoyer à l'article application (mathématiques), cf. ci-dessus et je ne pense pas que l'on parle de relation injective quand ce n'est pas une fonction.

Je suis globalement d'accord. Sur tes dernières questions, je dirais que la relation est plus une notion ensembliste alors que la correspondance a un sens au-delà (du genre entre les ordinaux et les cardinaux), mais je peux me tromper.

Je n'aime pas trop les titres comprenant une variable. Un article « Relation (mathématiques) » traitant ce qui ne rentre pas dans « Relation binaire » me semblerait judicieux, tout comme « Opération (mathématiques) » étend « Opération binaire ».

Pour les sources, S. Baruk parle de relation (mentionnant « correspondance » comme autre nom), disant qu'il n'en est « qu'entre ensembles ». L'Universalis aborde les relations en théorie des ensembles mais aussi dans un article à part, sous un angle axiomatique plus large. Ambigraphe, le 7 novembre 2009 à 22:12

Merci je ne pensais pas à l'Universalis, l'article de Ladrière est intéressant, plus logico-philosophique (il faudrait de toute façon quelque chose pointant sur calcul des prédicats dans l'article). Pour "correspondance" : le terme n'a pas disparu (par ex. l'article "fonction" de l'universalis l'utilise). L'intérêt de ses termes moins utilisés, c'est qu'on peut aussi leur donner localement un emploi plus spécialisé. Il est tout à fait possible que tu aies rencontré correspondance pour les classes, mais par ex. Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions] utilise relation dans le cas général (ensembles et classes), qu'il définit par des formules (calcul des prédicats), quelque chose d'absent ici d'ailleurs. Par ailleurs il me semble qu'une correspondance est toujours une relation binaire, il faudrait le mentionner sur cet article.

J'avais aussi envisagé relation (mathématiques), mais j'hésitais ayant vu que sur en: ils ont choisi de rediriger l'article équivalent sur en:binary relation parce que c'est l'emploi le plus courant (voir la pdd de en:finitary relation), ce qui me semble juste. D'un autre côté c'est le plus simple et "relation finitaire" n'est pas très parlant. Donc j'adopterais volontiers ta proposition, en indiquant dès le début de l'article que le plus souvent "relation" signifie "relation binaire", avec redirection vers cet article.

Il serait alors possible :

1.de rediriger ensuite "correspondance et relation" sur relation binaire ce qui règle la question des liens sur cet article (l'article relation binaire est plus modeste, et souvent c'est bien cela que le lien vise), et permet de traiter tranquillement celui-ci. de plus il me semble qu'une correspondance est toujours une relation binaire (que dit Stella Baruk ?), donc c'est adapté.

2. de développer cet article, pas forcément seulement dans le sens relations n-aires, mais aussi tout ce qui est généralisation, théorie des ensembles, théorie des classes par ex., l'article n'étant pas destiné à contenir de longs développements, mais plutôt (idéalement) à pointer sur des articles plus spécialisés (sur ce dont parle Ladrière par ex.). Proz (d) 8 novembre 2009 à 17:21

Nous sommes d'accord.

Stella Baruk ne parle pas de correspondance en dehors de sa citation du Dictionnaire des mathématiques de Bouviers, George et Le Lionnais : « Relation d'un ensemble E vers un ensemble F (ou correspondance) ».

Si l'article auquel tu penses dans ta seconde proposition est « Relation (mathématiques) », je te suis. Ambigraphe, le 8 novembre 2009 à 21:27

C'est bien ça. Je pensais à un renommage mais ça ne fonctionne pas (sans l'intervention d'un administrateur) : Relation (mathématiques) existait et a un historique conséquent (qui aurait dû peut-être fusionné avec celui-ci mais ça n'a pas été fait). Le mieux est peut-être de ressusciter relation (mathématiques) pour transformer celui-ci en redirect. Après tout ça conserve l'historique. A réfléchir. Proz (d) 9 novembre 2009 à 01:15

Fusion

Finalement cet article a des choses que l'on pourrait s'attendre à trouver dans relation binaire, même si pas mal est à réécrire. J'envisage finalement de recréer relation (mathématiques) et de fusionner correspondance et relation et relation binaire. Proz (d) 12 novembre 2009 à 01:16

Définition

Définir, surtout formellement, une relation binaire comme sous-ensemble du produit cartésien de deux ensembles conduit à des incohérences.

En effet, considérons par exemple deux ensembles A et B tels que A soit une partie stricte de B. Le carré cartésien AxA est alors une partie de BxB :

$\forall A\forall B(A\subset B)\Rightarrow (A\times A\subset B\times B)$

Considérons alors une relation binaire réflexive dans A, par exemple Delta(A), diagonale de AxA, définie comme suit : $\Delta (A)=\{(x,x)|x\in A\}$.

Comme AxA est une partie de BxB, Delta(A) l'est aussi; c'est donc une relation binaire dans B. Mais, comme A est une partie stricte de B, il existe un élément b de B qui n'appartient pas à A, et (b, b) n'appartient donc pas à Delta(A) qui n'est donc pas réflexive...

Certains pourraient penser se sortir de cette contradiction en décrétant que les propriétés de Delta(A) dépendent de l'ensemble dans lequel la relation est plongée, donc qu'elle est réflexive dans A et non réflexive dans B, mais un tel énoncé est à son tour contradictoire avec l'axiome d'extensionalité de la théorie des ensembles, qui affirme que les propriétés d'un ensemble ne dépendent que de la liste de ses éléments et de rien d'autre (En fait, l'axiome d'extensionalité affirme simplement que si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques, mais cela revient au même).

La seule solution consiste à modifier la définition des relations binaires de telle sorte qu'elle tienne compte de l'ensemble dans lequel la relation est placée. Dans notre exemple, cela implique alors que la relation binaire où Delta(A) est placée dans A n'est pas celle où Delta(A) est placée dans B. Si les deux relations sont différentes, elles peuvent avoir des propriétés différentes sans générer de contradiction.

Par ailleurs, si on parle de relation binaire, c'est que l'on suppose implicitement d'autres types de relations, par exemple ternaires... C'est pourquoi je crois qu'il faut réserver le terme de relation binaire au cas des carrés cartésiens, et employer un autre terme, par exemple correspondance, dans le cas général.

Nous aboutissons ainsi à un ensemble de définitions légèrement différent de celui proposé dans l'article, mais qui élimine incohérences et sources de confusion :

- une correspondance est un triplet d'ensembles tel que le troisième ensemble du triplet soit un sous-ensemble du produit cartésien du premier ensemble du triplet par le deuxième; en d'autres termes, si E et F sont deux ensembles :

$({\mathfrak {C}}\ est\ une\ correspondance\ de\ E\ dans\ F)\Leftrightarrow (\exists G\ /\ ({\mathfrak {C}}=(E,F,G))\wedge (G\subseteq E\times F))$

E est l'ensemble de départ de la correspondance, F son ensemble d'arrivée et G son graphe.

- une relation est alors une correspondance dont l'ensemble de départ est soit une puissance cartésienne de l'ensemble d'arrivée (relations internes), soit le produit cartésien d'un ensemble dit de scalaires par une telle puissance (relations externes); en d'autres termes, si E et S sont deux ensembles :

$({\mathfrak {R}}\ est\ une\ relation\ interne\ dans\ E)\Leftrightarrow (\exists n\in \mathbb {N} \ ,\exists G\ /\ (n\geq 2)\wedge ({\mathfrak {R}}=(E^{n-1},E,G))\wedge (G\subseteq E^{n}))$

$({\mathfrak {R}}\ est\ une\ relation\ externe\ de\ S\ dans\ E)\Leftrightarrow (\exists n\in \mathbb {N} \ ,\exists G\ /\ (n\geq 3)\wedge ({\mathfrak {R}}=(S\times E^{n-2},E,G))\wedge (G\subseteq S\times E^{n-1}))$

n est appelé arité de la relation qui est alors dite n-aire. Ainsi :

- une relation binaire est une correspondance dont les ensembles de départ et d'arrivée sont les mêmes; en d'autres termes, si E est un ensemble :

$({\mathfrak {R}}\ est\ une\ relation\ binaire\ dans\ E)\Leftrightarrow (\exists G\ /\ ({\mathfrak {R}}=(E,E,G))\wedge (G\subseteq E\times E))$

- une relation ternaire interne est une correspondance dont l'ensemble de départ est le carré cartésien de l'ensemble d'arrivée; en d'autres termes, si E est un ensemble :

$({\mathfrak {R}}\ est\ une\ relation\ ternaire\ interne\ dans\ E)\Leftrightarrow (\exists G\ /\ ({\mathfrak {R}}=(E\times E,E,G))\wedge (G\subseteq E^{3}))$

- une relation ternaire externe est une correspondance dont l'ensemble de départ est le produit cartésien d'un ensemble S de scalaires par l'ensemble d'arrivée; en d'autres termes, si E et S sont deux ensembles :

$({\mathfrak {R}}\ est\ une\ relation\ ternaire\ externe\ de\ S\ dans\ E)\Leftrightarrow (\exists G\ /\ ({\mathfrak {R}}=(S\times E,E,G))\wedge (G\subseteq S\times E^{2}))$

Il demeure ensuite tout à fait possible d'assimiler par abus de langage les relations à leur graphe, à condition que cet abus soit explicité (ce qui suppose qu'il ne figure pas dans la définition même des relations) et que toute ambiguïté sur l'ensemble de départ utilisé soit évitée...

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 194.214.213.67 (discuter), le 1/10/2004 à 13:40‎.

Nomenclature

cet article mêle des choses très utilisées et d'autres moins, avec une nomenclature qui parait parfois curieuse :

• areflexif : (ni reflexif , ni irreflexif dans l'article) nom contre-intuitif, a-t-on besoin de nommer ce genre de chose ?
• asymétrique : notion utile (ordre strict) mais nom contre-intuitif (en français il me semble que asymétrique, c'est ce qui n'est pas symétrique, a privatif), fortement anti-symétrique semble suffisant
• dissymétrique (dans le sens de l'article) : nom contre-intuitif, à quoi ça sert ?
• isolante : à quoi ça sert (vu les exemples cités ... ) ?
• connexe : je n'ai jamais vu appelé ça connexe. Y-at-il des références ? Quel rapport avec la connexité ? On parle parfois de propriété de trichotomie (quand les 3 cas sont exclusifs), c'est lourd mais clair.
• circulaire / anticirculaire : y-at-il des exemples utiles ? Pourquoi privilégier les cycles d'ordre 3 ?

Proz 29 novembre 2006 à 22:12

je me réponds : areflexif, dissymétrique, isolante, connexe, anti-circulaire : à faire disparaître, inventions terminologiques possibles ; asymétrique : on peut discuter, l'article anglais le mentionne, mais qui l'utilise ... ; circulaire : pas indispensable, mais je l'ai vu ailleurs, toujours dans le contexte décrit dans relation d'équivalence : un exercice plutôt qu'une définition utile, ça suffit dans cet article ; antitransitif ne sert à rien (autant que je sache), le laisser comme "exercice" (ne pas être transitif n'est pas être antitransitif). Par ailleurs, l'article pourrait être par contre moins normatif (cf version anglaise, il arrive que l'on identifie dans certains contextes une relation binaire à son graphe), mieux organisé. Proz 19 mai 2007 à 20:19

Style

Section "Approche expérimentale" : « On pourra déplorer le fait que Delphine n’aime personne, que Lucie ait un cœur généreux et que Charles puisse se sentir seul. » Ça ressemble plus à une remarque plaisante qu'un prof pourrait faire pour détendre l'atmosphère et maintenir l'attention de ses élèves qu'à une véritable information utile dans un article encyclopédique, non ? Par ailleurs, j'ai des réserves sur le titre de la section : approche "expérimentale", vraiment ? Le contenu est plus un exemple trivial monté de toutes pièces (mais certes parlant et pertinent, il a sa place ici) qu'à quoique ce soit d'expérimental. Est-ce que quelque chose comme "Illustration" ou "Illustration du concept" (ou autre) ne conviendrait pas mieux ? Schmorgluck 3 mars 2007 à 19:30

Pour ce genre de modification, tu peux le faire sans passer par une discussion. Si l'auteur (en l'occurence moi) trouve à redire, il viendra alors en parler ici, mais presonnlement je ne trouve rien à redire et ne peux que t'approuver. Seule une refonte justifie une discussion. HB 3 mars 2007 à 20:10

Un dernier remord cependant : la remarque plaisante n'est pas là pour détendre l'atmosphère mais permet de présenter une lecture (partielle) du diagramme sagital qui n'est pas évident pour tous. HB 3 mars 2007 à 20:14

déplacé ici pour la lisibilité

Qu'est-ce qu'une partie propre?? merci d'y répondre, de faire une page dessus >>>>

idem que sous-ensemble propre voir l'article sous-ensemble, je vais l'y ajouter explicitement. Proz 19 mai 2007 à 19:01

Fusion

J'envisage de fusionner correspondance et relation et relation binaire. Une partie de ce que l'on trouve dnas le premier pourrait se trouver ici. Beaucoup est à réécrire dans correspondance et relation, mais le terme de correspondance est (ou était) utilisé pour les relations binaires (par ex. par Bourbaki, ref. ajoutée).

Pour la partie relation n-aire j'envisage de recréer relation (mathématiques). Proz (d) 12 novembre 2009 à 01:21

Fonction, relation : hiérarchie ?

Coucou, c'est Discussion:Fonction réelle d'une variable réelle qui m'amène ici. Dans le paragraphe Définition formelle il est dit : Une relation binaire peut être considérée comme une fonction de E×F à valeur dans l’ensemble { Vrai , Faux } ... Cette phrase est là depuis la création de l'article, qui s'est beaucoup enrichi depuis et parle aujourd'hui de relation fonctionnelle, ce qui crée en théorie un cercle vicieux (et peut-être un risque de confusion pour le lecteur à qui cet article est censé apprendre quelque chose), donc je serais d'avis de la supprimer, surtout que je ne vois pas trop ce qu'elle apporte : oui, toute partie d'un ensemble (donc toute partie de ExF) peut être identifiée à sa fonction indicatrice, et alors ? Anne 9/7/10

Je suis d'accord pour défendre plutôt le point de vue que la notion de relation (fonctionnelle) est la meilleure façon pour définir la notion d'une fonction (et par la suite, d'application) de manière élémentaire (en n'utilisant que des ensembles et quantificateurs). La fonction indicatrice (qui est en fait une application) est une notion moins primitive que celle de la relation, et il ma parait difficilement envisageable d'utiliser la première pour définir la dernière. — MFH 10 novembre 2010 à 17:22

Relation d’ordre -> « plus grand que »

Un entier naturel plus grand qu'un autre ne peut lui être égal, n'est-ce pas ? Dans ce cas, l'ordre n'est pas total pour la relation « plus grand que » dans les entiers naturels, puisque deux entiers naturels égaux ne sont pas liés par cette relation (4 > 4 est faux). Je pense donc qu'il serait plus précis de remplacer « plus grand que » par « plus grand ou égal à », à moins de changer l'exemple. 81.185.117.16 (d) 2 mai 2012 à 01:52

Certes (et j'ai effectué cette correction, que vous auriez pu faire vous-même), mais cette section ne se veut pas très rigoureuse. L'article relation d'ordre donne toutes les précisions nécessaires --Dfeldmann (d) 2 mai 2012 à 07:18

En fait non : généralement, « plus grand que » signifie, par défaut : « supérieur ou égal à », et quand on veut exclure le cas d'égalité, on précise « strictement plus grand que », ou plus couramment : « strictement supérieur à ». Anne (discuter) 25/3/16

Finesse d'une relation d'ordre

Je viens d'ajouter la définition générale de finesse (facilement sourçable) mais elle est en conflit avec ce que j'aurais appelé finesse pour les relations d'ordre, et mes 2 seules « sources » divergent :

1. plus fine si plus d'inégalités ou
2. plus fine selon la définition générale pour les relations binaires ?

Anne 24/3/16

même problème que toi. Je n'ai aucun livre qui définisse la finesse d'une relation d'ordre. Celle-ci semble être définie seulement dans le cadre d'un exercice avec la discordance que tu soulignes. Si pas de définition officielle, il reste deux attitudes : ne pas en parler ou évoquer la diversité des sources. HB (discuter) 25 mars 2016 à 10:55 PS: je m'aperçois que j'ai beaucoup perdu en agilité intellectuelle mais il me semble que l'on ne peut rien déduire à partir de la finesse (?) d'une relation d'ordre sur la finesse de la topologie d'ordre induite. Me trompé-je ? HB (discuter) 25 mars 2016 à 10:55

Les très rares livres que je trouve qui définissent la finesse d'une relation d'ordre le font au sens 2 : [1] [2]. Peut-être que le polycop qui (comme moi avant) dit 1 est un cas isolé... En tous cas, puisque même 2 est rare : chut. Anne 19h PS : après réflexion, je confirme (puis en googlifiant je suis tombée sur ça mais pas le courage d'essayer de rentrer dedans).

Exemple de relation symétrique

J'ai cherché vainement une source pour l'affirmation (juste): Sur l'ensemble des face d'un polyèdre, la relation «avoir une arête commune avec» est symétrique. Je crois qu'on peut s'en passer. La relation plus connue est plutôt sur l'ensemble des sommets avec la relation «est relié par une arête avec», qui permet de construire le graphe (non orienté comme pour toute relation symétrique) planaire du polyèdre.

J'ai trouvé d'autre part, toujours dans mes vieilles fiches (Paul Ruff, « Relation d'ordre », Fiches pédagogiques à destination des professeurs de collège, n^o 11, 30 novembre 1962), comme exemple de relation réflexive, la relation sur l'ensemble des droites du plan «est perpendiculaire à» qui a, en outre, (remarque perso) le bon goût d'être antiréflexive et antitransitive dans le plan et antiréflexive et seulement non transitive dans l'espace . HB (discuter) 10 avril 2016 à 11:01

Il est question (mais sans ref) de cette relation de perpendicularité dans Relation transitive (qui parle aussi des relations antitransitives). J'ai transvasé depuis Relation binaire tous les exemples que je pouvais dans les articles loupes, mais il manque un (ou 2) article(s) pour en faire autant sur Relation symétrique et Relation antisymétrique (qui pour l'instant redirigent ici). Anne 11 h 23

Si l'on suit la logique des autres langues, il faudrait en fait trois articles relation symétrique, relation asymétrique et relation antisymétrique. HB (discuter) 10 avril 2016 à 13:54

Relation de tournoi

https://drive.google.com/open?id=1TOgnpIVrBMmNBm7gFYPr7WpU4XVKLC0z

je pense qu'il y'a une erreur de frappe dans le sujet presque à la fin. ci joint est un lien avec la capture d'écran faite à l'endroit en question. C'est à la section «Relation de tournoi» qui dit que c'est une relation en plus de la première propriété, qu'elle doit être antisymétrique. Je pense C'est asymétrique qui était souhaité être saisie.

Le problème est que la définition est donnée sans source. Si on cherche des sources on trouve

• une définition (voir [https://journals.openedition.org/msh/12107?file=1 ce document p. 9) qui en fait une relation totale et antisymétrique. Cependant quand l'antisymétrie est explicitée, il s'agit visiblement de l'antisymétrie forte c'est à dire de l'asymétrie. Il me semble que cette définition contient une contradiction interne (totale et asymétrique sont incompatibles)
• cette même définition se retrouve dans ce livre p. 59 sans que ne soit cette fois-ci explicité le sens donné au terme antisymétrique. La définition est donc cohérente, le graphe de la relation comprend toute la diagonale. Seul bémol, la référence à la modélisation du tournoi sportif dans lequel quand même, une équipe ne joue jamais contre elle-même (relation non totale) fragilise la définition.
• Enfin j'ai trouvé une autre définition dans ce document p 14 non pas d'une relation de tournoi mais d'un tournoi en tant que graphe simple (en particulier sans boucle donc associé à un relation irréflexive): un tournoi est un graphe tel que pour tous x et y sommets du graphe différents, on a : (x,y) est une arête si et seulement si (y,x) n'en est pas une, si on traduit sous forme de relation on a une relation irréflexive vérifiant : pour tous x et y différents, x R y si et seulement si y nonR x.

Quant à notre définition, elle parle de relation complète et non totale (je n'ai trouvé aucune source pour la définition d'une relation complète, je suppose qu'elle se crée par analogie avec la notion de graphe complet). Elle parle d'antisymétrie dans le sens fort et je serais alors favorable à corriger en asymétrie pour éviter toute ambiguité mais elle ne correspond à aucune des sources. J'attends d'autres avis et regrette fortement le manque de source claire. HB (discuter) 14 avril 2019 à 17:49 (CEST)

Réécrit à partir des sources dont j'ai pu disposer. HB (discuter) 16 avril 2019 à 08:16 (CEST)