Mesure de comptage

La mesure de comptage (ou mesure de dénombrement) est une mesure positive associée à la cardinalité d'un ensemble.

Si l'on note $\mu$ la mesure de comptage sur la tribu des parties d'un ensemble $X$, on a, pour tout $A\subset X$ : $$\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{si }}A{\text{ est fini}}\\+\infty &{\text{si }}A{\text{ est infini.}}\end{cases}}$$

Par définition de l'intégrale de Lebesgue, pour toute application $f:X\to \mathbb {R} _{+}$, on a :

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{y\in \mathbb {R} _{+}}y|f^{-1}(\{y\})|=\sum _{x\in X}f(x)$.

L'intégrale pour la mesure de comptage est donc une somme (ou une série). Elle est particulièrement utile avec les suites numériques. Ainsi les divers théorèmes associés à la théorie de la mesure s'appliquent aux séries (inversion série/intégrale et série/limite par exemple).

Exemples

Soit $E$ un ensemble fini de réels. L'intégrale de l'application identité $\mathrm {id} _{E}$ est $\int \mathrm {id} _{E}\,\mathrm {d} \mu =\sum _{x\in E}x$.

Soit une suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de réels positifs et son application associée $u:\mathbb {N} \to \mathbb {R} _{+},\;n\mapsto u_{n}$. On a $\int u\,\mathrm {d} \mu =\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}$.