Operador de Laplace

En cálculo vectorial, o operador laplaciano é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.

Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais non mixtas dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado ($\nabla ^{2}$) para representalo. Se $\phi$ e $\mathbf {A}$ son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como:

$\Delta \phi =(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi \qquad \qquad \Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A}$

Problemas relacionados co operador laplaciano

En física, o laplaciano aparece en múltiples contextos como a teoría do potencial, a propagación de ondas, a condución da calor, a distribución de tensións nun sólido deformable etc. Pero de todas estas situacións ocupa un lugar destacado na electrostática e na mecánica cuántica. Na electrostática, o operador laplaciano aparece na ecuación de Laplace e na ecuación de Poisson. Mentres que na mecánica cuántica o laplaciano da función de onda dunha partícula da enerxía cinética da mesma. En matemáticas, as funcións tales que o seu laplaciano se anula nun determinado dominio, chámanse funcións harmónicas sobre o dominio. Estas funcións teñen unha excepcional importancia na teoría de funcións de variable complexa. Ademais o operador laplaciano é o ingrediente básico da teoría de Hodge e os resultados da cohomoloxía de Rham.

Motivación da ubicuidade do operador laplaciano

Unha das motivacións polas cales o laplaciano aparece en numerosas áreas da física é que as solucións da ecuación $\Delta f=0$ nunha rexión U son funcións que minimizan o funcional de enerxía:

$E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\mathrm {d} x$

Para ver isto, supóñase que $f\colon U\to \mathbb {R}$ é unha función, e $u\colon U\to \mathbb {R}$ é unha función que se anula sobre a fronteira de U. Entón,

${\frac {d}{d\varepsilon }}{\Big |}_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\mathrm {d} x=-\int _{U}u\Delta f\mathrm {d} x$

onde a última igualdade séguese usando a primeira identidade de Green. Este cálculo mostra que se $\Delta f=0$, entón o funcional de enerxía E é estacionario arredor de f. Reciprocamente, se E é estacionario arredor de f, entón $\Delta f=0$ polo teorema fundamental do cálculo integral.

Outra razón da súa ubicuidade é que cando un escribe a ecuación de Laplace en forma diferenzas finitas apréciase que o laplaciano nun punto é a diferenza entre o valor da función no punto e o valor da función arredor do mesmo. É dicir, calquera magnitude que pode expresarse como unha magnitude fluxo que se conserva e satisfai a ecuación de Laplace.

Propiedades do operador laplaciano

O laplaciano é linear:

$\nabla ^{2}(\lambda f+\mu g)=\lambda \nabla ^{2}f+\mu \nabla ^{2}g$

A seguinte afirmación tamén é certa:

$\nabla ^{2}(fg)=(\nabla ^{2}f)g+2(\nabla f)\cdot (\nabla g)+f(\nabla ^{2}g)$

Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionais, o laplaciano dunha función f é:

$\Delta f=\nabla ^{2}f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}$

En coordenadas cartesianas tridimensionais:

$\Delta f=\nabla ^{2}f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$

En coordenadas cartesianas en $\mathbb {R} ^{n}$:

$\Delta f(x_{1},...,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}^{2}}(x_{1},...,x_{n})$

Coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas $(\rho ,\varphi ,z)\,$:

$\Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}={1 \over \rho }{\partial f \over \partial \rho }+{\partial ^{2}f \over \partial \rho ^{2}}+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.$

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas $(r,\theta ,\phi )\,$:

$\Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}$

Coordenadas curvilíneas ortogonais

En coordenadas ortogonais xerais $(u_{1},u_{2},u_{3})\,$:

$\Delta f=\nabla ^{2}f={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial u_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial u_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial u_{3}}}\right)\right]$

Onde $(h_{1},h_{2},h_{3})\,$ son os factores de escala do sistema de coordenadas, que en xeral serán tres funcións dependentes das tres coordenadas curvilíneas.

Función harmónica

Unha función $f:E\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ dise que é harmónica en E se:

$\forall x\in E,\,\,\Delta f(x)=0$

Exemplos de funcións harmónicas:

• $f(x,y)=log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ sobre o plano euclídeo.
• O potencial gravitatorio dado por $\phi (x,y,z)=GM/({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})$ é harmónico sobre o espazo euclídeo tridimensional.
• os harmónicos esféricos son funcións harmónicas sobre un dominio finito ou infinito, que aparecen na resolución de problemas con simetría esférica.

Xeneralizacións do Laplaciano

O laplaciano pode ser estendido a funcións definidas sobre superficies, ou en forma máis xeral, en variedades de Riemann e variedades seudoriemannianas.

Operador de Laplace-Beltrami

Unha extensión do laplaciano a funcións reais definidas sobre unha variedade é o operador de Laplace-Beltrami (denotado $\nabla ^{2}$). Defínese, en forma similar ao laplaciano, como a diverxencia do gradiente, onde o gradiente unha función f definida nunha variedade (seudo)riemaniana e a diverxencia dun campo vectorial X sobre a mesma veñen dados en compoñentes por:

$({\mbox{grad}}\ f)^{i}=g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\qquad {\mbox{div}}\ X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)$

Onde: $g^{ij}$, é tensor 2-contravariante asociado ao tensor métrico. ${\sqrt {|g|}}$, é a raíz cadrada do valor absoluto do determinante do tensor métrico. O operador de Laplace-Beltrami dunha función escalar obtense como a diverxencia e o gradiente definidos como anteriormente, é dicir:

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\sqrt {|g|}}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\right)$

Operador de Laplace-deRham

En variedades riemannianas e seudoriemanninas existe outra xeneralización do laplaciano que o estende a k-formas, que é a base da cohomoloxía de Hodge-deRham. Esta extensión chamada operador de Laplace-deRham, e denotado como ${\boldsymbol {\Delta }}$, defínese en termos da diferencial exterior (d) e a codiferencial exterior (δ) de k-formas ou alternativamente en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham defínese como:

${\boldsymbol {\Delta }}\alpha =(d\delta +\delta d)\alpha =(d+\delta )^{2}\alpha$

Onde a codiferencial pode reescribirse en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge:

$\delta =(-1)^{n(k+1)+1}*d*\;$

Onde n é a dimensión da variedade (seudo)riemanniana e k é a orde da k-forma α.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• O operador laplaciano en MathWorld (en inglés)