Paralelogramo

Os catro tipos de paralelogramo. No sentido das agullas do reloxo: cadrado, rombo, romboide e rectángulo. O cadrado e o rectángulo son paralelogramos rectángulos, mentres que os outros dos son paralelogramos non rectángulos.

Un paralelogramo é un cuadrilátero convexo que ten os pares de lados opostos iguais e paralelos dous a dous.

Os paralelogramos son:

• o cadrado, que ten todos os seus lados de igual lonxitude.
• o rectángulo, que ten os seus lados opostos de igual lonxitude.
• o rombo, que ten todos os seus lados de igual lonxitude, e dous pares de ángulos iguais.
• o romboide, que ten os lados opostos de igual lonxitude e dous pares de ángulos iguais

Pódense clasificar os paralelogramos en polígonos equiláteros e non equiláteros, co que se ten:

• Paralelogramos equiláteros, cos seus catro lados iguais:
  • o cadrado, que ten todos os seus lados de igual lonxitude (e todos os seus ángulos rectos).
  • o rombo, que ten todos os seus lados de igual lonxitude (pero os seus ángulos non son rectos).
• Paralelogramos non equiláteros, se os seus catro lados non son iguais:
  • o rectángulo, no que só os seus lados opostos teñen igual lonxitude (e todos os seus ángulos son rectos).
  • o romboide, no que só os lados opostos son iguais (e os seus ángulos non son rectos).

Propiedades

Conxunto e subconxuntos da familia dos paralelogramos. Todo o que non sexa cadrado, rectángulo ou rombo denomínase romboide (zona gris).

O conxunto dos paralelogramos reúne varios subconxuntos de figuras xeométricas, todas elas con lados opostos iguais e paralelos, por exemplo os romboides, os rombos, os cadrados e os rectángulos son todos subconxuntos pertencentes ao conxunto dos paralelogramos. O feito de que varias figuras con algunhas características distintas sexan parte dos paralelogramos fai un pouco máis complexo mencionar as súas propiedades, posto que existen propiedades que son comúns a toda a familia de paralelogramos. Por exemplo, a propiedade «lados opostos iguais e paralelos» e común a todos, mais outras propiedades como ser «eixes de simetría de reflexión» poden ser diferentes para cada subfamilia.

Propiedades comúns a todos os paralelogramos

• Teñen catro vértices, catro lados e catro ángulos interiores, é dicir, é un subconxunto dos cuadriláteros.
• Os lados opostos dun paralelogramo son paralelos (por definición), polo que nunca se intersecan.
• Os lados opostos dun paralelogramo son de igual lonxitude (congruentes).
• Os ángulos opostos dun paralelogramo son iguais en medida.
• Os ángulos de dous vértices contiguos son suplementarios (suman 180°).
• A suma dos ángulos interiores de todo paralelogramo é igual a 360°.
• A área dun paralelogramo é o dobre da área dun triángulo formado por calquera das súas diagonais e os lados contiguos da figura.
• A área dun paralelogramo é igual á magnitude (módulo) do produto vectorial de dous lados contiguos, considerados como vectores.
• Todos os paralelogramos son convexos.
• Calquera recta secante coplanaria corta o paralelogramos en dous e só en dous dos seus lados.
• As diagonais dun paralelogramo bisécanse entre elas.
• O chamado «centro» do paralelogramo atópase no punto no que se bisecan as dúas diagonais.
• O centro do paralelogramo é tamén o baricentro do mesmo.
• Calquera recta coplanaria que pasa polo centro dun paralelogramo divide a súa superficie en dúas partes iguais, ou en dous trapecios congruentes. O segmento que pasa polo punto medio chámase mediana, mesmo no caso extremo dunha diagonal.
• Calquera recta coplanaria que pase polo baricentro dun paralelogramo é tamén «transversal de gravidade» do mesmo.
• Calquera transformación afín non dexenerada transforma un paralelogramo noutro paralelogramo.
• Existe un número infinito de transformacións afíns que transforman un paralelogramo dado nun cadrado.
• Pódese establecer un homeomorfismo entre un paralelogramo e unha circunferencia.
• Unha translación ou unha rotación dun paralelogramo conservan a forma e o tamaño

Propiedades particulares de distintos paralelogramos

• O cadrado ten simetría de rotación de orde 4 (90°)
• O romboide, o rombo e o rectángulo teñen simetría de rotación de orde 2 (180°)
• Se non existe ningún eixe de simetría de reflexión, entón é un romboide.
• Se ten dous eixes de simetría de reflexión diagonais, entón é un rombo.
• Se ten dous eixes de simetría de reflexión perpendiculares aos lados, entón é un cadrado.
• Se ten catro eixes de simetría de reflexión, entón é un cadrado.

Algunhas propiedades métricas comúns

• O perímetro dun paralelogramo é 2 (a + b), onde a e b son as lonxitudes de dous lados contiguos calquera.
• A suma dos cadrados dos lados é igual á suma dos cadrados das diagonais (lei do paralelogramo).
• Para calcular a área dun paralelogramo, pódese considerar como unha figura composta por dous triángulos congruentes e un rectángulo, trazando alturas dos vértices dos ángulos obtusos.

Fórmulas

Fórmulas do paralelogramo
Área	$A\,=\,a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\,\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|$    $A\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}}$
Altura de a	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta ={\frac {A}{a}}$
Altura de b	$h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta ={\frac {A}{b}}$
Diagonais (teorema do coseno)	$f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$ $e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$
Ángulos	$\alpha =\gamma \;\;\;\;\;\beta =\delta \;\;\;\;\;\beta =180^{\circ }-\alpha$

Lei do paralelogramo

Os catro lados dun paralelogramo (AB, BC, CD e DA),
os catro vértices (A, B, C e D) e as dúas diagonais (AC e BD).

Existe unha lei xeométrica que relaciona os lados dun paralelogramo coas súas diagonais, chamada lei do paralelogramo. Esta di que a suma dos cadrados das lonxitudes dos catro lados dun paralelogramo calquera é igual á suma dos cadrados das lonxitudes das dúas diagonais. En notación matemática, represéntase como:

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.\,$

onde A, B, C, e D son os vértices do paralelogramo.

Posto que os lados son iguais dos a dos, a fórmula adoita representarse simplificada:

$2\cdot ((AB)^{2}+(BC)^{2})=2\cdot ((CD)^{2}+(DA)^{2})=(AC)^{2}+(BD)^{2}.\,$

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Apolonio