טרינום

באלגברה אלמנטרית, טרִינוֹם (בעברית: תלת־איבר^[1]) הוא פולינום המורכב משלושה איברים או מונומים^[2].

ביטויים טרינומיים

$3x+5y+8z$ עם המשתנים $x,y,z$
$3t+9s^{2}+3y^{3}$ עם המשתנים $t,s,y$
$3ts+9t+5s$ עם המשתנים $t,s$
$Ax^{a}y^{b}z^{c}+Bt+Cs$ עם המשתנים $x,y,z,t,s$ , הקבועים $a,b,c$ מספרים שלמים אי־שליליים ו־ $A,B,C$ קבועים ממשיים.
$Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c}$ עם המשתנה $x$ , הקבועים $a,b,c$ מספרים שלמים אי־שליליים ו־ $P,Q,R$ קבועים ממשיים.

משוואה טרינומית

משוואה טרינומית היא משוואה פולינומית הכוללת שלושה איברים. דוגמה לכך היא המשוואה $x=q+x^{m}$ שנחקרה על ידי יוהאן היינריך למברט במאה ה-18.^[3]

מקרה פרטי: טרינום ריבועי

בבתי הספר בישראל פירוק טרינום ריבועי נלמד החל מכיתה ט' כתחליף לנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית^[4]. טרינום מסוג זה מיוצג באופן הבא: $ax^{2}+bx+c$ .

במקרים אלה נחפש שני מספרים $a_{1},a_{2}$ המקיימים את השוויונות $a_{1}+a_{2}=b,\ a_{1}a_{2}=ac$ , שכן אז ניתן לפרק כך:

ax^{2}+bx+c=ax^{2}+a_{1}x+a_{2}x+c=ax\left(x+{\frac {a_{1}}{a}}\right)+a_{2}\left(x+{\frac {c}{a_{2}}}\right)=(ax+a_{2})\left(x+{\frac {a_{1}}{a}}\right)

(השוויון $a_{1}a_{2}=ac$ גורר את השוויון ${\frac {a_{1}}{a}}={\frac {c}{a_{2}}}$ ולכן ניתן להוציא את הגורם המשותף $x+{\frac {a_{1}}{a}}=x+{\frac {c}{a_{2}}}$ ).

לדוגמה, הפולינום $x^{2}+3x+2$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר הוא 1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $x_{1}=-1,\ x_{2}=-2$ .
נחפש שני מספרים $a_{1},a_{2}$ שמקיימים את השוויונות $a_{1}+a_{2}=3,\ a_{1}a_{2}=2$ . המספרים $a_{1}=1,a_{2}=2$ מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

x^{2}+3x+2=x^{2}+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+2)(x+1)

ונקבל מהפירוק כי שורשי הפולינום הם $x_{1}=-2,\ x_{2}=-1$ .

דוגמה נוספת, הפולינום $3x^{2}-2x-5$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר שונה מ־1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}}$ . נחפש שני מספרים $a_{1},a_{2}$ שמקיימים את השוויונות $a_{1}+a_{2}=-2,\ a_{1}a_{2}=-15$ , המספרים $a_{1}=-5,\ a_{2}=3$ מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך: