מספר טרנספיניטי

מספר טרנספיניטי או מספר על־סופי הוא מספר הגדול מאשר כל מספר סופי. המספרים הטרנספיניטיים כוללים מספרים מונים (קרדינלים), המשמשים לציון הגודל של קבוצה אינסופית, ומספרים סודרים (אורדינלים), המשמשים לציון סדר בקבוצות אינסופיות. את המושג "טרנספיניטי" טבע המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1895, כשרצה להימנע מכמה מההשלכות של המילה "אינסופי" בקשר עם אובייקטים אלה, שבכל אופן לא היו סופיים. מעטים מהכותבים בני זמננו חולקים חששות אלה; כיום מקובל להתייחס לקרדינלים טרנספיניטיים ולאורדינלים כאל מספרים אינסופיים. אף על פי כן, גם המונח "טרנספיניטי" נשאר בשימוש.

עבודה בולטת על מספרים טרנספיניטיים נעשתה על ידי המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי, בספרו משנת 1928‏ "Leçons sur les nombres transfinis", שמהדורה מורחבת שלו, בשם "Cardinal and Ordinal Numbers" יצאה לאור ב־1958 ובמהדורה שנייה ב־1965.

הגדרה

כל מספר טבעי סופי יכול לשמש לפחות בשתי דרכים: כמספר מונה וכמספר סודר. מספרים מונים מציינים את הגודל של קבוצות (למשל, "שקית של חמש גולות"), בעוד שמספרים סודורים מציינים את המיקום של איבר בתוך קבוצה מסודרת (למשל, "האיש השלישי משמאל"). מספר מונה טרנספיניטי משמש לתיאור גודל של קבוצה אינסופית, בעוד שמספר סודר טרנספיניטי משמש לתיאור המיקום בתוך קבוצה אינסופית מסודרת. המספרים המונים והסודרים הנודעים ביותר הם, בהתאמה:

• $\aleph _{0}$ (אלף אפס): המספר המונה הטרנספיניטי הראשון. זוהי גם העוצמה של קבוצת המספרים הטבעיים. כאשר אקסיומת הבחירה מתקיימת, המספר המונה הבא הוא $\aleph _{1}$. כאשר אינה מתקיימת, ייתכנו מספרים מונים אחרים שאינם ניתנים להשוואה ל־$\aleph _{1}$ וגדולים מ־$\aleph _{0}$. כך או כך, אין מספרים מונים בין $\aleph _{0}$ לבין $\aleph _{1}$.
• $\omega$ (אומגה): המספר הסודר הטרנספיניטי הנמוך ביותר. זהו גם טיפוס הסדר של המספרים הטבעיים לפי הסדר הליניארי הרגיל שלהם.

השערת הרצף היא הטענה שאין מספרים מונים בין $\aleph _{0}$ לבין עוצמת הרצף (העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים): או לחלופין ש־$\aleph _{1}$ הוא הקרדינליות של קבוצת המספרים הממשיים. בתורת הקבוצות של צרמלו–פרנקל לא ניתן להוכיח את השערת הרצף ולא את שלילתה.

כמה מחברים, כולל פטריק סופס (Patrick Suppes) וג'ין רובין (Jean E. Rubin), משתמשים במונח קרדינל טרנספיניטי כדי להתייחס לקרדינליות של קבוצה אינסופית לפי הגדרת דדקינד בהקשרים שבהם זה אולי שקול ל"קרדינל אינסופי"; כלומר, בהקשרים שבהם האקסיומה של בחירה בת־מנייה אינה משוערת או אינה ידועה כמתקיימת. בהינתן הגדרה זו, כולם שווים:

• ${\mathfrak {m}}$ הוא קרדינל טרנספיניטי. כלומר, יש קבוצה $A$ שהיא אינסופית לפי הגדרת דדקינד כך שהקרדינליות של $A$ היא ${\mathfrak {m}}$.
• ${\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}$.
• $\aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}$.
• יש מספר מונה ${\mathfrak {n}}$ כך שמתקיים $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}$.

למרות שאורדינלים טרנספיניטיים וקרדינלים שניהם מכלילים רק את המספרים הטבעיים, מערכות מספרים אחרות, כולל המספרים ההיפר־ריאליים והמספרים הסוריאליסטיים, מספקות הכללות של המספרים הממשיים,

דוגמאות

בתאוריה של המספרים הסודרים של קנטור, לכל מספר שלם חייב להיות עוקב. המספר השלם הבא אחרי כל השלמים הרגילים, כלומר המספר השלם האינסופי הראשון, נקרא $\omega$. בהקשר הזה, $\omega +1$ גדול מ־$\omega$ ו־$\omega \cdot 2$, $\omega ^{2}$ ו־$\omega ^{\omega }$ גדולים עוד יותר. ביטויים אריתמטיים המכילים $\omega$ מציינים מספר סודר, וניתן לחשוב עליו כקבוצת כל המספרים השלמים עד למספר זה. למספר נתון יש בדרך כלל ביטויים מרובים המייצגים אותו, עם זאת, יש צורה נורמלית ייחודית של קנטור (Cantor normal form) המייצגת אותו, שהיה בבסיסה רצף סופי של ספרות שנותנים מקדמים של חזקות יורדות של $\omega$.

עם זאת, לא כל המספרים השלמים האינסופיים יכולים להיות מיוצגים על ידי צורה נורמלית של קנטור, והראשון שלא ניתן לייצגו הוא הגבול $\omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}$ המכונה $\varepsilon _{0}$. $\varepsilon _{0}$ הוא הפתרון הקטן ביותר למשוואה $\omega ^{\varepsilon }=\varepsilon$, והפתרונות הבאים $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}}...$ נותנים אורדינלים גדולים יותר, ויכולים להימשך עד שמגיעים לגבול $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$, שהוא הפתרון הראשון ל־$\varepsilon _{\alpha }=\alpha$. זה אומר שכדי להיות מסוגל לציין את כל המספרים השלמים הטרנספיניטיים, צריך לחשוב על רצף אינסופי של שמות: כי אם נציין מספר שלם יחיד גדול ביותר, תמיד אפשר יהיה לציין את העוקב הגדול ממנו. אבל כפי שציין קנטור, אפילו זה רק מאפשר להגיע למחלקה הנמוכה ביותר של מספרים טרנספיניטיים: אלה שגודל הקבוצות שלהם תואם למספר המונה $\aleph _{0}$.

קישורים חיצוניים

• Transfinite Numbers and Set Theory, The University of Utah
• מספר טרנספיניטי, באתר MathWorld (באנגלית)
• מספר טרנספיניטי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)