Euklidski vektorski prostor ili skraćeno euklidski prostor prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu .
Neka je
V
{\displaystyle V}
vektorski prostor i neka je
ψ
:
V
×
V
→
R
{\displaystyle \psi :V\times V\to \mathbb {R} }
v
⋅
w
{\displaystyle v\cdot w}
ψ
(
v
,
w
)
{\displaystyle \psi (v,w)}
u
,
v
,
w
,
∈
V
{\displaystyle u,v,w,\in V}
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
v
⋅
w
=
w
⋅
v
;
{\displaystyle v\cdot w=w\cdot v;}
(
u
+
v
)
⋅
w
=
u
⋅
w
+
v
⋅
w
;
{\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w;}
α
(
v
⋅
w
)
=
(
α
v
)
⋅
w
=
v
⋅
(
α
w
)
;
{\displaystyle \alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w=v\cdot (\alpha w);}
w
⋅
w
>
0
ako i samo ako je
v
≠
0.
{\displaystyle w\cdot w>0{\mbox{ ako i samo ako je }}v\neq 0.}
Tada se
ψ
{\displaystyle \psi }
skalarni produkt
V
{\displaystyle V}
Ako na
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
euklidski vektorski prostor .
Euklidska norma ili duljina vektora
w
{\displaystyle w}
‖
w
‖
=
w
⋅
w
.
{\displaystyle \|w\|={\sqrt {w\cdot w}}.}
Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutom
φ
{\displaystyle \varphi }
v
⋅
w
=
‖
v
‖
⋅
‖
w
‖
⋅
cos
φ
,
{\displaystyle v\cdot w=\|v\|\cdot \|w\|\cdot \cos \varphi ,}
tj. kut
φ
{\displaystyle \varphi }
v
,
w
∈
V
{\displaystyle v,w\in V}
φ
=
arccos
(
v
⋅
w
‖
v
‖
⋅
‖
w
‖
)
.
{\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}\right).}
Ako je
v
⋅
w
=
0
{\displaystyle v\cdot w=0}
φ
=
π
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}
v
{\displaystyle v}
w
{\displaystyle w}
okomiti ili ortogonalni vektori.
