Ugrás a tartalomhoz

Négyzetgyök

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). A gyökvonás azon esete, amikor .

Az szám négyzetgyökének jele:

A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen -nak és -nak ugyanúgy a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.

A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük. A racionális számok közül csak azoknak a négyzetgyöke lesz racionális, melyek felírhatók két négyzetszám hányadosaként. Így például a is irracionális, melyet már az ókorban bebizonyítottak.

A gyökjel a kis r betűből alakult ki, a jobb ág meghosszabbításával. A 16. században jelent meg. Eredetileg az r betűt a latin radix szó rövidítéseként a radikandus elé írták. Ha a radikandus bonyolultabb kifejezés volt, akkor zárójelbe tették. Így használta még Gauss is.

A négyzetgyök angol nevéből származik a sok programnyelvben használt sqrt jelölés.

Definíció a valós számok halmazán

[szerkesztés]

Ha a nem negatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

A valós négyzetgyökfüggvény

[szerkesztés]
A négyzetgyökfüggvény grafikonja
Kettős logaritmikus ábrázolásban a négyzetgyökfüggvény grafikonja egy 1/2 meredekségű egyenes

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek szoktuk nevezni:

Ekvivalensen, jelölje q azt a függvényt, ami a valós számokhoz a négyzetüket rendeli. Ha ezt leszűkítjük a nemnegatív számokra, akkor inverze a négyzetgyökfüggvény lesz:

A valós számokon értelmezett négyzetre emelés függvény nem injektív és nem szürjektív, így nem invertálható függvény. A nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény viszont invertálható, inverze a négyzetgyökfüggvény. Mivel a nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény értékkészlete csak nemnegatív számokat tartalmaz, azért a négyzetgyök csak ezekre a számokra értelmezhető. A korlátozás miatt a négyzetgyökfüggvény értékei sem negatívak. A négyzetre emelés függvénynek más invertálható korlátozásai is vannak, ám ezek inverzét nem tekintjük négyzetgyökfüggvénynek.

A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja

.

Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.

Értelmezési tartományának minden zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye

.

Tulajdonságai

[szerkesztés]
  • Szigorúan monoton növekvő, azaz:
  • Zérushelye: x=0
  • Szélsőérték:
    • Minimuma: x=0, f(x)=0
    • Maximuma nincs
  • Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

Példák

[szerkesztés]
Négyzetszámok és négyzetgyökeik
Radikandus Négyzetgyök Radikandus Négyzetgyök
1 1 121 11
4 2 144 12
9 3 169 13
16 4 196 14
25 5 225 15
36 6 256 16
49 7 289 17
64 8 324 18
81 9 361 19
100 10 400 20

Számolás négyzetgyökökkel

[szerkesztés]

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

  • , ha
  • , ha
  • , mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
  • tetszőleges a valós számra.
  • ellenben csak akkor teljesül, ha a nem negatív

A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák

[szerkesztés]
  • I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

  • II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

Komplex négyzetgyökfüggvény

[szerkesztés]
A komplex négyzetgyökvonás szögfelezést tartalmaz. Példa:

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív; azonban a valós esettel ellentétben szürjektív, azaz minden komplex szám előáll négyzetként. Leszűkítéssel injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.

A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető. Az egyetlen mellékág

A Descartes-koordinátákkal adott komplex szám esetén, ahol , valósak, a főérték

ahol a függvény értéke nempozitív esetén  −1.

Polárkoordinátákkal a művelet egyszerűbben elvégezhető. Legyen a radikandus a komplex szám, melynek polárkoordinátás alakja

ahol és valósak úgy, hogy és ! Ekkor a főérték:

és a mellékérték ennek mínusz egyszerese:

A négyzetgyökök abszolútértéke a radikandus abszolútértékének négyzetgyöke. A főérték argumentuma a radikandus argumentumának fele. A mellékérték az origóra való tükrözéssel adódik. Ha komplex szám, akkor argumentuma az szög, ahol a pontok valós koordinátái az egy valós szám, a nulla valós szám és .

A komplex számokra nem teljesül az

hatványtörvény, hogyha és . Ez megmutatható az esetben:

ahonnan az azonosság miatt

amire a negatív számok ellenpéldák. Ha például , akkor és miatt főértékének argumentuma , holott főértékének argumentuma .[1]

Mivel pozitív radikandusok esetén a főértéknek pozitívnak kell lennie, így a példa azt is megmutatja, hogy nem létezhet olyan komplex gyökfüggvény, amelyre a hatványtörvény teljesül. Azonban a hatványtörvény teljesül, ha a két oldalon nem kell egyezniük az előjeleknek. A következő képeken és a négyzetgyök argumentumát színezés jelöli.

Számítása

[szerkesztés]

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Valós számok

[szerkesztés]

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

  • Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:

12 < 2 és 22 > 2 miatt az első jegy 1. 1,42 = 1,96 < 2 és 1,52 = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

  • Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x2 - a függvényre. Gyors konvergenciája miatt számológépek programozására használják.
  • A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Komplex számok

[szerkesztés]
Egy z komplex szám négyzetgyökei
Egy z komplex szám négyzetgyökei

Ha a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke

ahol sgn(y) a szignumfüggvény.

Az egyetlen mellékág a .

A polárkoordinátákban adott négyzetgyökei így számíthatók:

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.

Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.

Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.

Példaként keressük a komplex szám négyzetgyökét. Ehhez kiszámítjuk az abszolútértékét:

Tehát a főérték

és a mellékérték

Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben

[szerkesztés]

Ha egy n természetes számra akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

Prímszám modulus

[szerkesztés]

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.

Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.

A kérdést az

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:

.

Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

  • p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

  • p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:

Választunk egy r számot, hogy:

legyen.

Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:

.

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

Példa: Legyen és !

Ekkor a fenti képlet alapján a négyzetgyökök

Próbálgatással egy megfelelő érték , mivel:

A és értékekre adódik, hogy:

Behelyettesítéssel

Tehát 3 négyzetgyökei modulo 37 15 és 22 modulo 37.

Mátrixok négyzetgyökei

[szerkesztés]

Ha négyzetes mátrix, akkor négyzetgyöke minden mátrix, melyet önmagával szorozva az mátrixot kapjuk:

A gyökvonás a többi esethez hasonlóan nem egyértelmű. Azonban, ha pozitív definit szimmetrikus mátrixok pozitív definit szimmetrikus gyökét keressük, akkor a válasz egyértelmű.

A négyzetgyök kiszámítása:

  • A radikandust ortogonális mátrixszal diagonizáljuk (spektráltétel miatt lehetséges).
  • Az átlós elemekből négyzetgyököt vonunk, mindig a pozitív értéket választva. Lásd: Cholesky-felbontás
  • Visszatérünk az eredeti bázisba.

Az egyértelműség következik abból, hogy az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a szimmetrikus mátrixok vektoterében a pozitív definit mátrixokra.

Integráloperátor közelítésének négyzetgyöke

[szerkesztés]

Legyen integrálfüggvény, és legyen , ahol az pontokra és . Legyen továbbá függvény, és használjuk az közelítést! Példánkban a mátrix mérete :

Ez a művelet megismételhető, így kapjuk a kettős integrált:

így az mátrix felfogható numerikusan közelített integráloperátorként. Az mátrix nem diagonizálható, és Jordan-normálformája:

Ebből négyzetgyököt úgy lehet vonni, mint nem diagonizálható mátrixokból. De ebben a speciális esetben van közvetlenebb formális megoldás:

ahol , és .

Itt a diagonális indexe (a főátlóé nulla), és a kitevő . Hogyha behelyettesítjük a pozitív valós számot, így valós, és fdefiníciója alapján pozitív.

Így az „fél” határozott integrálja numerikusan közelíthető:

Hogyha keressük az összes olyan operátort, ami önmagával szorozva az közelítő integráloperátort adja, akkor be kell tenni a negatív előjelet, így a két megoldás .

A levezetéshez invertálni kell -t, azt eredményt a hatványra emelni, és újra invertálni.

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratwurzel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Klaus Fritzsche. Tutorium Mathematik für Einsteiger. Springer-Verlag (2016)