Jump to content

Կավարի տեսություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Կավարի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ բազմության վրա որոշված երկտեղանի հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {} համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե -ի կամայական տարրերի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.

  1. ,
  2. եթե և , ապա ,
  3. եթե a\leqslant b և , ապա ։

Եթե , բայց -ն հավասար չէ -ին, ապա ասում են, որ -ն խիստ փոքր է -ից և նշանակում՝ ։ բազմությունը կոչվում է {} համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {} համակարգը կոչվում է կավար, եթե -ի կամայական տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

ա. գոյություն ունի -ին պատկանող տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ հարաբերության
բ. գոյություն ունի -ին պատկանող տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ հարաբերության

տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են , իսկ ստորինը՝ ։ {} համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝ , ։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։ հատվածը, որտեղ իրական թվեր են և , իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {} մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի տարր, որ կամայական բավարարում է պայմանին, ապա -ն կոչվում է {} համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում -ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են նշանով, նվազագույնը՝ նշանով։ Եթե և գոյություն չունի այնպիսի , որ , ապա տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում -ն մաքսիմալ տարր է, իսկ և տարրերը՝ մինիմալ։

Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական տարրերի համար տեղի ունի առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն և , յուրաքանչյուր տարրին համապատասխանում է այնպիսի տարր, որ և ։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ , և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթեմատիկական տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։

Գրականություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
  • Բիրկգոֆ Գ., «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
  • Սկրոնյակով Լ. Ա., «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
  • Սիկորսկի Ռ., Булевы алгебры, пер.с англ., Մոսկվա, 1969
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 280