Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ

Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ, մաթեմատիկայի բաժին, որտեղ ֆունկցիաներն ուսումնասիրվում են արգումենտի ընդհատ փոփոխման դեպքում, ի տարբերություն դիֆերենցիալ հաշվի և ինտեգրալ հաշվի, որտեղ արգումենտը համարվում է անընդհատ փոփոխվող։

Վերջավոր տարբերություն են անվանում հետևյալ տիպի առնչությունները․ $\Delta f(x_{n})=f(x_{x+1})-f(x_{n})$ (1-ին կարգի տարբերություն), $\Delta ^{2}f(x_{n})=\Delta f(x_{n+1})-\Delta f(x_{n})$ (2-րդ կարգի տարբերություն), $\Delta ^{k}f(x_{n})=\Delta ^{k-1}f(x_{n+1})-\Delta ^{k-1}f(x_{n})$ (k-րդ կարգի տարբերություն), որտեղ $x_{n}=x_{0}+nh$, $h$-ը հաստատուն է, $n$-ը՝ ամբողջ թիվ։

Վերջավոր տարբերությունների դերը ընդհատ արգումենտի ֆունկցիաների տեսությունում նույնն է, ինչ ածանցյալների դերն անընդհատ արգումենտի ֆունկցիաների տեսությունում։ Այս երկու հասկացությունները կապվում են

$\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta ^{n}f(x)}{h^{n}}}=f^{(n)}(x)$

բանաձևով, որտեղ հ–ը արգումենտի երկու հարևան արժեքների տարբերությունն է։ Վերջավոր տարբերությունների հաշիվը մեծ կիրառություն ունի թվային անալիզի մի շարք բաժիններում (միջարկում, թվային դիֆերենցում և ինտեգրում, դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման թվային մեթոդներ)։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվի կարևոր բաժիններից մեկը նվիրված է

$F[x,\Delta f(x),...\Delta ^{n}f(x)]=0$

տեսքի տարբերական հավասարումների լուծմանը, որը շատ բաներով նման է դիֆերենցիալ հավասարումների լուծմանը։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվում մեծ նշանակություն ունի ֆունկցիաների գումարման, այսինքն մեծ $k$-ի դեպքում $f(a)+f(a+h)+...+f(a+kh)$ գումարի ճշգրիտ կամ մոտավոր արժեքը գտնելու խնդիրը։ Այն լուծվում է

$\sum _{m=0}^{k-1}f(a+mh)=F(a+kh)-F(a)$

բանաձևով, որտեղ $F(x)$-ը $\Delta F(x)=f(x)$ տարբերական հավասարման լուծումն է։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվի այս բանաձևն ինտեգրալ հաշվի հիմնական բանաձևի՝ որոշյալ ինտեգրալը նախնականով արտահայտող բանաձևի հանգունակն է։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 11, էջ 416)։