Notazione multi-indice

La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la notevole semplificazione di molte formule, mediante la generalizzazione del concetto di indice a quello di ennupla ordinata di indici. Trova applicazione, ad esempio, nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.

Un multi-indice n-dimensionale è una ennupla di numeri naturali, cioè numeri interi, maggiori o uguali a zero, $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ .

Regole

Si definiscono le seguenti regole, per $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ :

\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n});

\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i;

|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n};

\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!;

{\alpha  \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}};

\mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}};

D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}},\qquad

dove

D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}

. Al posto della lettera D maiuscola si usa anche la notazione

\partial ^{\alpha }.

Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo 1-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:

Sviluppo multinomiale

\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}.

Formula di Leibniz

Se u, v sono differenziabili, allora

D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha  \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}.

Serie di Taylor

Se f è analitica, allora

f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}.

Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come

P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}.

Integrazione parziale

Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ si ha che

\int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}.

Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.

Teorema

Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},$ allora

\partial ^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\text{se }}i\leq k,\\0&{\text{altrimenti.}}\end{cases}}

Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...

{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\text{se }}i\leq k,\\0&{\text{altrimenti.}}\end{cases}}

Se supponiamo $i=(i_{1},\ldots ,i_{n})$ , $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})$ , allora abbiamo che

\partial ^{i}x^{k}={\frac {\partial ^{\vert i\vert }}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}={\frac {\partial ^{i_{1}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots {\frac {\partial ^{i_{n}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{n}^{k_{n}},

in quanto per ogni r=1,...,n la funzione $x_{r}^{k_{r}}$ dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale $\partial /\partial x_{r}$ si riduce alla derivazione ordinaria $d/dx_{r}$ . Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che $\partial ^{i}x^{k}$ si annulla se $i_{r}>k_{r}$ per qualche r=1,...,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione, $i\leq k$ nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,...,n viene ${\frac {d^{i_{r}}}{dx_{r}^{i_{r}}}}x_{r}^{k_{r}}={\frac {k_{r}!}{(k_{r}-i_{r})!}}x_{r}^{k_{r}-i_{r}}$ e dunque la tesi del teorema. $\Box$