ალბათობის თეორია

კამათელის გაგორება შემთხვევითი მოვლენაა, ე. ი. ალბათობის თეორიის საკითხი.

ალბათობის თეორია — მათემატიკის ნაწილი შემთხვევითი პროცესების და მათი მათემატიკური მოდელირების შესახებ.

ისტორია

დარგის წარმოშობა დაკავშირებულია XVII საუკუნეში გალილეო გალილეის, პიერ ფერმის და ბლეზ პასკალის შედეგებთან. შემდეგ განივითარდა აბრაამ დე მუავრის პიერ სიმონ ლაპლასის სიმეონ დენი პუასონის შრომებით. XIX საუკუნიდან აღსანიშნავია კარლ ფრიდრიხ გაუსის, პაფნუტი ჩებიშევის, ალექსანდრე ხინჩინის, ანდრეი კოლმოგოროვის, მორის რენე ფრეშეს, ემილ ბორელის, ჰარალდ კრამერის და სხვათა წვლილი.

ელემენტარული აღწერა

ალბათობის თეორიის სტანდარტული ამოცანაა მოცემული შემთხვევითი პროცესის მომცველი ცდისთვის დაადგინოს რაიმე კონკრეტული „მოვლენის“ მოხდენის ალბათობა. მოცემული ცდის პირობებში ყოველ $A$ „მოვლენას“, ხდომილებას (ე. ი. ცდის კონკრეტულ შესაძლო შედეგს) შეესაბამება გარკვეული რიცხვი $P(A)$, 0-დან 1-მდე ინტერვალში – $A$ ხდომილების ალბათობა (ე.ი. ცდის ამ შედეგით დასრულების ალბათობა). ისე რომ, თუ $P(A)=0$, მაშინ ცდა $A$ ხდომილებით არ დასრულდება; რაც მეტია ხდომილების ალბათობა მით მეტია ხდომილების მოხდენის შესაძლებლობა; ხოლო თუ $P(A)=1$, მაშინ ცდის შედეგი აუცილებლად იქნება ხდომილება $A$.

მაგალითად, დავუშვათ ცდა მდგომარეობს კამათლის გაგორებაში. ეს ცდა შეიძლება დასრულდეს ექვსი განსხვავებული შედეგით – გაგორდეს „ერთიანი“, „ორიანი“, „სამიანი“, „ოთხიანი“, „ხუთიანი“ ან „ექვსიანი“, თითოეული მათგანი ამ ცდის ხდომილებაა და თუ კამათელი იდეალურია, თითოეულს მათგანის ალბათობა არის 1/6.

კამათლის გაგორების ამოცანაში ხდომილებების ალბათობები ფაქტობრივად აპრიორი ცნობილია. არატრივიალურ შემთხვევებში ალბათობის თეორია განიხილავს ერთმანეთთან ამა თუ იმ წესით დაკავშირებულ ხდომილებებს. მოცემული $A$ და $B$ ხდომილობების საშუალებით შეიძლება განიმარტოს ახალი ხდომილებები, გაერთიანება A U B და თანაკვეთა A ∩ B. A U B არის ხდომილება, რომელსაც ადგილი აქვს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ადგილი აქვს ან $A$ ან $B$ ხდომილებას. A ∩ B არის ხდომილება, რომელსაც ადგილი აქვს მაშინ და მხოლოდ მაშინ როდესაც $A$ და $B$ ხდომილებები ერთდროულად ხდებიან. სრულდება ტოლობა: A ∪ B = P(A) + P(B) - A ∩ B. ალბათობას იმისა, რომ „$A$ მოხდება, თუ $B$ მოხდა“ ეწოდება $A$ ხდომილების პირობითი ალბათობა $B$–ს მიმართ. თუ $A$ მოვლენის პირობითი ალბათობა მოცემული $B$-თი იგივეა რაც $A$-ს (უპირობო) ალბათობა $P(A)$, მაშინ $A$ და $B$ დამოუკიდებელი ხდომილებებია. დამოუკიდებელი ხდომილებებისთვის ადგილი აქვს ტოლობას: P( A ∩ B )= P(A)P(B).

თანამედროვე ალბათობის თეორია ემყარება აქსიომატურ სისტემებს. ამ გზით ხერხდება ალბათობის თეორიის ამოცანების ზუსტი მათემატიკური ფორმულირება და შესაძლებელი ხდება მათ გადასაჭრელად მძლავრი მათემატიკური აპარატის გამოყენება.

აქსიომატური ალბათობის თეორია

ისევე როგორც თანამედროვე მათემატიკის ყველა სხვა დარგი, ალბათობის თეორიაც ყალიბდება სიმრავლეთა თეორიის ენაზე და ეფუძნება აქსიომებს. ალბათობის თეორიისადმი აქსიომატური მიდგომა პირველად შემოიტანა ანდრეი კოლმოგოროვმა 1930–იან წლებში. აქსიომატური ალბათობის თეორიისთვის პრინციპული ცნებაა ალბათური სივრცე. აქსიომებს, რომელთაც იგი აკმაყოფილებს, კოლმოგოროვის აქსიომები ეწოდება.

განმარტება

ალბათური სივრცე არის სამეული $(\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P)$ სადაც:

• $\Omega$ არის სიმრავლე;
• ${\mathcal {F}}$ არის $\Omega$–ს ქვესიმრავლეების σ-ალგებრა;
• $P$ არის ზომა ${\mathcal {F}}$ σ-ალგებრაზე, ისეთი რომ $P(\Omega )=1$.

$\Omega$–ზე უნდა ვიფიქროთ როგორც გარკვეული შემთხვევითი პროცესის ყველა შესაძლო შედეგის ერთობლიობაზე, ეწოდება ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე. მის ელემენტებს ეწოდება ელემენტარული ხდომილებები. ${\mathcal {F}}$–ის ელემენტებს ეწოდება ხდომილებები. თითოეული $A$ ხდომილება $\Sigma$–დან შედგება გარკვეული ელემენტარული ხდომილებებისაგან. $P$ ზომას ეწოდება ალბათობა, იგი ნებისმიერ $A$ ხდომილებას ${\mathcal {F}}$–დან უსაბამებს რიცხვს $P(A)$–ს [0, 1] ინტერვალში.

მაგალითად ორი კამათელის გაგორების შემთხვევაში ელემენტარული ხდომილება შეიძლება აღინიშნოს წყვილით $(x,y)$, სადაც x და y შესაბამისად პირველ და მეორე კამათელზე მოსული რიცხვებია. ამ შემთხვევაში $\Omega$ შეიცავს 36 ელემენტარულ ხდომილებას. ხდომილება $A$ – „ერთ კამათელზე მაინც მოვა ექვსიანი“ მოიცავს 11 ელემენტატული ხდომილებას (1, 6), ..., (6, 6), (6, 5),..., (6, 1). ამრიგად ამ შემთხვევაში $P(A)=11/36$.

თუ $\Omega$ თვლადი სიმრავლეა ${\mathcal {F}}$, როგორც წესი, არის $\Omega$–ს ყველა ქვესიმრავლის სიმრავლე. ზოგად შემთხვევაში $\Omega$ არათვლადი უსასრულო სიმრავლეა.

ალბათობის თეორიაში ცდის შედეგთან დაკავშირებულ რიცხვს შემთხვევითი სიდიდე ეწოდება. მაგალითად ორი კამათლის გაგორების მაგალითში ორივე კამათელზე მოსული რიცხვების ჯამი არის შემთხვევითი სიდიდე. ფორმალურად შემთხვევითი სიდიდე არის $\Omega$–ზე განსაზღვრული ზომადი ფუნქცია. ალბათობის თეორიის ამოცანები უკავშირდება ამა თუ იმ შემთხვევით სიდიდის გამოკვლევას.

მაგალითი: ორი სატრიალებელი და მათი ალბათური სივრცეები

იხილეთ აგრეთვე

• ალბათობის აქსიომები
• განაწილების ფუნქცია
• დისპერსია
• ზომის თეორია
• კომბინატორიკა
• მათემატიკური ლოდინი
• მათემატიკური სტატისტიკა
• შემთხვევითი სიდიდე

სქოლიო