변형 함자

수학에서, 변형 함자(變形函子, 영어: deformation functor)는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 변형 이론(變形理論, 영어: deformation theory)이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 $F$의, 어떤 아르틴 가환환 $A$에 대한 값 $F(A)$는 다루고자 하는 대상의, $A$ 위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.

정의

국소 아르틴 가환환의 범주

체 $k$ 위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환 $(A,{\mathfrak {m}})$이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환 $A$는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

$A=k[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}]/(x_{1}^{n_{1}},x_{2}^{n_{2}},\dotsc ,x_{m}^{n_{m}},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r})$

$p_{1},\dotsc ,p_{r}\in k[x_{1},\dotsc ,x_{m}]$

$p_{i}(0,0,\dotsc ,0)=0\in k\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,r\}$

${\mathfrak {m}}=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m})\subsetneq A$

또한, $A$의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} A$은 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체 $k$가 주어졌을 때 $k[x]/(x^{2})$는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼은 ${\mathfrak {m}}=(x)$이다.

체 $k$에 대하여, 범주 $\operatorname {LocArt} (k)$를 다음과 같이 정의하자.

• $\operatorname {LocArt} _{k}$의 대상 $i\colon k\to A$은 $k$를 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환 $(A,{\mathfrak {m}})$을 공역으로 하는 환 준동형 가운데, $k\to A\to A/{\mathfrak {m}}$가 환의 동형 사상을 이루는 것이다.
• $\operatorname {LocArt} _{k}$의 사상 $(A,{\mathfrak {m}}_{A},i_{A})\to (B,{\mathfrak {m}}_{B},i_{B})$은 구조 사상과 호환되는 환 준동형 $f\colon A\to B$이다. 즉, $f\circ i_{A}=i_{B}$이어야 한다.

이 범주에서, $(k,{\mathfrak {m}}_{k}=(0),\operatorname {id} _{k})$는 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 $A$, $B$의 곱 $A\times _{\operatorname {LocArt} (k)}B$는 곱집합과 다르며, 구체적으로

$(A,{\mathfrak {m}}_{A},i_{A})\times _{\operatorname {LocArt} (k)}(B,{\mathfrak {m}}_{B},i_{B})=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon i_{A}^{-1}(a+{\mathfrak {m}}_{A})=i_{B}^{-1}(b+{\mathfrak {m}}_{B})\}$

이다. (여기서 $\times _{\operatorname {Set} }$은 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환의 직접곱 $A\times _{\operatorname {CRing} }B$의 부분환으로서 주어진다.

보다 일반적으로, 세 대상 $A,B,C$ 및 사상 $A{\xrightarrow {f}}C{\xleftarrow {g}}B$이 주어졌을 때, 올곱

$A\times _{C}B=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon f(a)=g(b)\}$

이 존재한다.^:209

이 범주에서, 대상 $A=k[x]/(x^{2})$을 생각하자. 이 경우,

$A\times A\cong k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy)$

이다. 표준적인 환 준동형

$A\times A\to A$

$(a+bx+cy)\mapsto (a+(b+c)x)$

을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.

작은 농화

두 국소 아르틴 가환환

$(A,{\mathfrak {m}})$

$(A',{\mathfrak {m}}')$ 사이의 환 준동형

$f\colon A\to A'$

이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 작은 농화(-濃化, 영어: small thickening)라고 한다.

• 전사 함수이다.
• $\ker f$는 $A'$의 주 아이디얼이다.
• $(\ker f){\mathfrak {m}}'=0$이다.

이에 따라, $\ker f$는 1차원 $A/{\mathfrak {m}}$-벡터 공간이다. 예를 들어, 체 $k$ 및 양의 정수 $n$에 대하여

$k[x]/(x^{n+1})\to k[x]/(x^{n})$

은 작은 농화이다.

두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.

변형 함자

체 $k$가 주어졌을 때, $\operatorname {LocArt} (k)$에서 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$로 가는 함자

$F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set}$

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, $\operatorname {LocArt} (k)$ 속의 두 환 준동형 $B\to A\leftarrow C$에 대하여, 올곱의 보편 성질에 의하여 함수

$g\colon F(B\times _{A}C)\to F(B)\times _{F(A)}F(C)$

가 표준적으로 존재한다.

이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.

• (H0) 집합 $F(k)$는 한원소 집합이다.
  • 여기서 $F(k)$의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다.
• (H1) 만약 $C\to A$가 작은 농화라면, $g$가 전사 함수이다.
• (H2) 만약 $A=k$이며, $C=k[x]/(x^{2})$라면, $g$가 전단사 함수이다.
• (H4) 만약 $C\to A$가 작은 농화이며 $B\to A$가 동형 사상이라면, $g$가 전단사 함수이다.

(H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 $F$를 변형 함자라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 준변형 함자 영어: pre-deformation functor라고 한다.)

성질

접공간

변형 함자 $F$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 $F(k[x]/(x^{2}))$를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 $k$-벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.

$\alpha v=F(\sigma _{\alpha })v\qquad \forall \alpha \in k,\;v\in F(k[x]/(x^{2}))$

$v+w=F(\mu )g^{-1}(v,w)$

여기서

$\sigma _{\alpha }\colon k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})$

$\sigma _{\alpha }\colon x\mapsto \alpha x$

는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며,

$g\colon F(k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2}))\to F(k[x]/(x^{2}))\times F(k[x]/(x^{2}))$

는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며,

$\mu \colon k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})$

는 $k[x]/(x^{2})$ 위의 군 대상 구조이다.

이 경우, 벡터 공간 $F(k[x]/(x^{2}))$를 변형 함자 $F$의 접공간(接空間, 영어: tangent space)이라고 한다.

표현 가능성

변형 함자 $F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set}$가 주어졌다고 하자. $\operatorname {ComplLocNoeth} (k)$가 $k$-대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 $k$-대수 $(A,{\mathfrak {m}})$에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.

${\hat {F}}(A)=\varprojlim _{n\to \infty }F(A/{\mathfrak {m}}^{n})$

여기서 유한한 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $A/{\mathfrak {m}}^{n}$이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자

${\hat {F}}\colon \operatorname {ComplLocNoeth} (k)\to \operatorname {Set}$

를 정의한다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\hat {F}}$가 표현 가능 함자이다.
• (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원 $k$-벡터 공간이다.

예

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 매끄러운 대수다양체 $X_{0}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

• 국소 아르틴 $k$-대수 $A$
• 스킴 $X_{A}$
• 평탄 사상 $X_{A}\to \operatorname {Spec} A$
• 스킴 사상 $X_{0}\to X$

이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.

• 다음 네모가 가환 그림을 이룬다.

  ${\begin{matrix}X_{0}&\to &X_{A}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} k&\to &\operatorname {Spec} A\end{matrix}}$

• 이 네모로부터, 올곱의 보편 성질로 정의되는 사상 $X_{0}\to X_{A}\times _{\operatorname {Spec} A}\operatorname {Spec} k$는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 $X_{0}$이다.)

그렇다면, $F(A)$가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우, $F$는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은

$\operatorname {H} ^{1}(X_{0},\mathrm {T} X_{0})$

이다.

역사

변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(영어: John Michael Schlessinger)가 도입하였다.

외부 링크

• “Deformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Deformation functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Deformation theory”. 《nLab》 (영어). 
• Ward, Matt (2012년 5월 10일). “Galois Deformations 1: Schlessinger” (영어). 2018년 9월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 9월 27일에 확인함. 
• Osserman, Brian. “A glimpse of deformation theory” (PDF) (영어). 
• Osserman, Brian. “Beyond Schlessinger: deformation stacks” (PDF) (영어). 
• Hartshorne, Robin (2004). “Lectures on deformation theory” (PDF) (영어).