핵 (수학)

수학에서, 어떤 사상의 핵(核, kernel 커널^[*])은 0의 원상의 포함 사상으로 생각할 수 있는 특별한 단사 사상이다. 범주론을 통해 추상적으로 정의할 수 있으나, 적절한 조건을 만족시키는 구체적 범주에서는 특정 원소의 원상의 포함 함수가 된다.

정의

영 사상을 갖는 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 사상 $f\colon X\to Y$ 의 핵 $\ker f\colon K\to X$ 은 다음과 같은 영 사상과의 동등자이다.

\ker f=\operatorname {eq} \{f,0_{XY}\}

영 대상을 갖는 범주 속의 사상 $f$ 에 대하여, $f=\ker g$ 인 $g$ 가 존재한다면 $f$ 를 정규 단사 사상(正規單射寫像, 영어: normal monomorphism)이라고 한다. "정규"라는 용어는 군론의 정규 부분군에서 유래하였다. 임의의 영 대상을 갖는 범주에서, 정규 단사 사상은 (동등자이므로) 단사 사상이다.

모든 단사 사상이 정규 단사 사상인 영 사상을 갖는 범주를 정규 범주(正規範疇, 영어: normal category)라고 한다.

성질

준가법 범주 (아벨 군의 모노이드 범주 $\operatorname {Ab}$ 위의 풍성한 범주)에서, 두 사상의 동등자는 그 차의 핵과 같다.

\operatorname {eq} \{f,g\}=\ker(f-g)

아벨 범주에서 모든 사상은 핵을 가지며, 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 구체적으로, 아벨 범주에서 모든 단사 사상은 그 여핵의 핵과 같으며, 모든 전사 사상은 그 핵의 여핵과 같다.

예

벡터 공간과 가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 $R{\text{-Mod}}$ 는 영 사상을 갖는 범주이며, 이 범주에서 모든 사상(가군 준동형)은 핵을 갖는다. 구체적으로, $f\colon M\to N$ 의 핵 $\ker f\colon K\hookrightarrow M$ 는 다음과 같은 포함 함수이다.

K=\{m\in M\colon f(m)=0_{N}\}

$R{\text{-Mod}}$ 에서 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 이는 (군이나 유사환의 경우와 달리) 임의의 부분 가군에 대한 몫가군을 정의할 수 있기 때문이다.

특히, 선형대수학에서 $R$ 가 체일 경우, 체 위의 가군들은 벡터 공간이며, 벡터 공간의 범주에서는 핵이 존재한다. 특히, 행렬은 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 정의하며, 행렬의 핵은 벡터 공간의 범주에서의 핵이다. 선형대수학에서 핵은 영공간(零空間, 영어: null space)이라고 불리기도 한다.

군

군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Grp}$ 에서, 영 사상은 1(군 연산의 항등원)로 가는 상수 함수이다. $\operatorname {Grp}$ 에서 모든 사상(군 준동형)은 핵을 갖는다. 구체적으로, $f\colon G\to H$ 의 핵 $\ker f\colon K\hookrightarrow G$ 는 다음과 같은 포함 함수이다.

K=\{g\in G\colon f(g)=0_{H}\}

이 경우, $K$ 는 $G$ 의 정규 부분군을 이룬다.

군의 범주에서, 임의의 군 준동형 $f\colon G\to H$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 정규 단사 사상이다.
$f$ 는 단사 함수이며, 그 상 $f(G)\leq H$ 는 $H$ 의 정규 부분군이다.

아벨 군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Ab}$ 에서, 영 사상과 핵은 $\operatorname {Grp}$ 에서와 같다. 즉, 영 사상은 0(군 연산의 항등원)으로 가는 상수 함수이며, 핵은 0의 원상으로 가는 포함 함수이다. $\operatorname {Ab}$ 에서 단사 함수인 모든 군 준동형은 정규 단사 사상이다. 이는 아벨 군의 모든 부분군이 정규 부분군이기 때문이다.

유사환

유사환과 유사환 준동형의 범주 $\operatorname {Rng}$ 에서, 영 사상은 0 (덧셈 항등원)으로 가는 상수 함수이다. $\operatorname {Rng}$ 에서 모든 사상은 핵을 갖는다. 구체적으로, $f\colon R\to S$ 의 핵 $\ker f\colon {\mathfrak {k}}\to R$ 는 다음과 같은 포함 함수이다.

{\mathfrak {k}}=\{g\in G\colon f(g)=0_{H}\}

이 경우, ${\mathfrak {k}}$ 는 $R$ 의 아이디얼을 이룬다.

유사환의 범주에서, 임의의 유사환 준동형 $f\colon R\to S$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 정규 단사 사상이다.
$f$ 는 단사 함수이며, 그 상 $f(R)\subseteq S$ 는 $S$ 의 아이디얼이다.

(곱셈 단위원을 갖는) 환과 환 준동형의 범주 $\operatorname {Ring}$ 에서 핵은 존재하지 않는다. 이는 아이디얼은 1을 포함하지 않을 수 있어 부분환을 이루지 못할 수 있기 때문이다.

점을 가진 공간

점을 가진 공간의 범주 $\operatorname {Top} _{\bullet }$ 에서, 영 사상은 $\bullet$ 으로 가는 상수 함수이다. 이 범주에서 모든 사상 $f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})$ 은 핵 $\ker f\colon (K,\bullet _{X})\hookrightarrow (X,\bullet _{X})$ 을 가지며, 이는 $\bullet$ 의 원상에 대한 포함 함수이다.

K=\{x\in X\colon f(x)=\bullet _{Y}\}

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Null space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Linear transformation kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Group kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Module kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring kernel”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Kernel”. 《nLab》 (영어).
“Zero morphism”. 《nLab》 (영어).
“Normal monomorphism”. 《nLab》 (영어).
Armstrong, John (2007년 6월 13일). “Zero objects, Kernels, and Cokernels”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).

같이 보기