조립제법(組立除法, Synthetic division)이란 다항식을 내림차순으로 정리하여 계수들만 표기하는 간단한 계수들의 조립에서 간단한 곱셈과 덧셈으로만 이루어지는 적은 계산을 통해 다항식의 긴 나눗셈(Polynomial long division)을 보다 효율적이고 간단하게 수행하는 방법이다.
어떤 다항식을 특별히 일차식으로 나눗셈을 할 경우,Ruffini의 규칙(Ruffini's rule)이라 한다.이 규칙은 나누는 수(일차식)의 상수항의 부호에 (-1)을 곱하여 그 수를 중심으로 삼아, 뺄셈을 덧셈과 곱셈형식으로 전환시키는 원리를 지니고있다. 이 원리를 토대로 조립제법은 직접하는 다항식의 나눗셈의 뺄셈과정보다 더 익숙한 덧셈과 곱셈과정만으로 답을 추구할 수 있다는 의의를 지니고 있다.
이 부분에서 정의한 조립제법은 최고차항의 계수가 1인 다항식으로 나눌 때만 가능하다. 따라서 최고차항의 계수가 1이 아닌 경우는 1로 변형하여 조립제법을 한 다음, 구해진 몫의 계수를 조정하는 별도의 계산이 필요할 수 밖에 없다. 예를 들어서 최고차항의 계수가 2일 경우에는 그 식을 2로 나눠서 조립제법을 한 다음, 그 몫의 검산식의 양변에 2를 곱해주는 것이다.
조립제법(Synthetic division)을 영어로 직역하면 (종합적으로) 합성한 나눗셈을 의미하는데, 이는 나누어지는 다항식(피제수)의 각 항들을 내림차순으로 정리하여 계수들만 정렬시키고, 나눌 다항식(제수)의 상수항에 (-1)을 곱함으로써 부호를 바꾼 항을 왼쪽 칸에 배열시켜 계수들을 합성시키는 이 과정에 초점을 맞춰이름을 지었다고 할 수 있다.
조립제법(組立除法)은 Synthetic division를 한자어로 번역한 것으로, 의미는 대체적으로 같다. 피제수와 제수의 각 계수들을 특정하게 배열(組)하여 알맞게 조립제법의 형태를 세우고(立) 이 형식으로 나눗셈을 수행하는 것(除)을 의미한다.
조립제법의 이름은 조립제법을 하는 방법에 초점을 두어 정의되었다. 무엇보다 간편한 나눗셈을 수행하기 위해, 조립제법을 하는 방법을 강조하고있는데에 초점을 둔 것이다.
일차항 계수가 1인 일차식으로 나누기의 예
[편집]다음 나눗셈을 수행하려고 한다.
먼저 피제수의 모든 계수를 내림차순으로 쓴다. 이때, 보이지 않는 항까지 모두 써야 한다. (이 예에서는 일차식의 계수에 해당한다)
제수의 계수의 부호를 바꾼다.
제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수를 세로줄의 왼쪽에 쓴다.
첫 번째 계수는 그대로 내려온다.
그 다음 맨 좌측선 너머에 쓴 수(여기서는 3)와 내려온 계수를 곱하여 그 피제수의 다음 계수 아래쪽에 쓴다.
같은 열에 위치한 가로선 위쪽의 이 값을 더하여 가로선 아래쪽에 쓴다.
이전의 두 단계를 반복하여 마지막까지 쓴다.
일차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 가장 우측의 수는 나머지를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.[1]
일차항 계수가 1이 아닌 일차식으로 나누기의 예
[편집]다음 나눗셈을 수행하려고 한다.
먼저 피제수의 모든 계수를 내림차순의 순서로 쓴다. 이때, 보이지 않는 항까지 모두 써야 한다. (이 예에서는 일차식의 계수에 해당한다)
나누는 식의 상수항을 반대 부호로 하여 세로줄의 왼쪽에 쓴다.
나누는 식의 최고차항 계수 2는 부호를 바꾸지 않고 나누기 기호 /를 그 좌측에 붙여서(즉 /2 기호로 히여) 가로줄 밑, 세로줄 바로 좌측에 적어준다.
첫 번째 계수는 그대로 내려온다. 그대로 내려온 것을 2로 나누어(즉 /2 하여) 그 밑에 적는다.
앞에서 마지막에 적었던 1/2에 3을 곱하여 다음 열의 가로줄 바로 위에 적어 준다.
방금 적었던 3/2은 그 위의 -12와 합한 값을 가로 줄 바로 밑에 적어 주고, 또 이를 /2 하여 또 바로 그 밑에 적어준다.
앞에서 마지막에 적었던 -21/4에 3을 곱하여 다음 열의 가로줄 바로 위에 적어 준다.
방금 적었던 -63/4은 그 위의 0과 합한 값을 가로 줄 바로 밑에 적어 주고, 또 이를 /2 하여 또 바로 그 밑에 적어준다.
이전의 단계를 계속 반복한다. 마지막 단계에서는 /2(나누기 2)를 하지 않는다.
일차식 2x - 3으로 나누었으므로, 수평줄 바로 아래쪽에 나열된 수 중에서 가장 우측의 수 -525/8은 나머지를 의미하고, 수평줄의 아래 아래에 놓인 수들(즉 가장 밑에 놓인 수들)은 몫의 내림차순 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.[2]
최고차항 계수가 1인 이차식으로 나누는 조립제법의 예
[편집]이러한 조립제법은 제수의 차수가 더 높은 경우에도 사용가능하다. 다음의 예제를 살펴보자.
먼저 피제수의 계수를 모두 쓴다.
제수의 계수의 부호를 바꾼다.
제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수들을 대각선 방향으로 써 내려간다.
피제수의 첫 번째 계수는 그대로 내려온다.
내려간 계수는 좌측의 값과 곱하여 대각선 위로 올라간다.
가로선 위쪽의 같은 열의 수들을 세로로 더해서 가로선 아래쪽에 쓴다.
이전의 두 단계를 반복하여 끝까지 계산한다.
마지막 부분을 더해서 아래쪽에 쓴다.
이차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 우측 두 수는 나머지의 계수를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.[1]
만약 최고차항의 계수가 1이 아닌 이차식의 경우 맨 앞에서 서술한 대로 적절한 수를 곱해서 제수의 최고차항의 계수를 1로 만들어줘야 한다.
