Dedekind-zèta-functie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Huidige versie van 30 mei 2021 om 00:41

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de dedekind-zèta-functie van een algebraïsch getallenlichaam $K$ , algemeen aangeduid door $\zeta _{K}(s)$ , een generalisatie van de riemann-zèta-functie. De riemann-zèta-functie, die een speciaal geval is waarin $K$ het lichaam van de rationale getallen $\mathbb {Q}$ is.

In het bijzonder kan de dedekind-zèta-functie worden gedefinieerd als een dirichletreeks. De dedekind-zèta-functie heeft een euler-product-expansie, voldoet aan een functionaalvergelijking en heeft een analytische voortzetting tot een meromorfe functie op het complexe vlak $\mathbb {C}$ met slechts een enkelvoudige pool in $s=1$ . De uitgebreide riemann-hypothese stelt dat $\mathrm {Re} (s)=1/2$ als $\zeta _{K}(s)=0$ en $0<\mathrm {Re} (s)<1$ .

De dedekind-zèta-functie is genoemd naar Richard Dedekind, die deze functie in zijn aanvulling op Johann Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie introduceerde.^[1]

Definitie

De dedekind-zèta-functie $\zeta _{K}(s)$ van het algebraïsch getallenlichaam $K$ is gedefinieerd voor complexe getallen $s$ met $\mathrm {Re} (s)>1$ , door de dirichletreeks:

\zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}

waarin $I$ als waarden de niet-nulzijnde idealen van de ring van de gehele getallen $O_{K}$ van $K$ heeft, en $N_{K/\mathbb {Q} }(I)$ de absolute norm van $I$ is (die is gelijk aan de index $[O_{K}:I]$ van $I$ in $O_{K}$ of equivalent aan de kardinaliteit van de quotiëntring $O_{K}/I$ ). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen $s$ met $\mathrm {Re} (s)>1$ .

Voetnoten

↑ (en) Narkiewicz, 2004, §7.4.1.

[1] (en) Narkiewicz, 2004, §7.4.1.

[1]

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
-In de [[algebraïsche getaltheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''Dedekind-zèta-functie''' van een [[algebraïsch getallenlichaam]] ''K'', algemeen aangeduid door ζ<sub>''K''</sub> (''s''), een veralgemening van de [[Riemann-zèta-functie]]. De Riemann-zèta-functie, die een speciaal geval is waarin ''K'' het lichaam van de [[rationaal getal|rationale getal]]len '''Q''' is.
+In de [[algebraïsche getaltheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''dedekind-zèta-functie''' van een [[algebraïsch getallenlichaam]] <math>K</math>, algemeen aangeduid door <math>\zeta_K(s)</math>, een generalisatie van de [[riemann-zèta-functie]]. De riemann-zèta-functie, die een speciaal geval is waarin <math>K</math> het lichaam van de [[rationaal getal|rationale getal]]len <math>\Q</math> is.
-In het bijzonder kan de Dedekind-zèta-functie worden gedefinieerd als een [[Dirichletreeks]]. De Dedekind-zèta-functie heeft een [[Euler-product]]-expansie, voldoet aan een [[functionaalvergelijking]] en heeft een [[analytische voortzetting]] tot een [[meromorfe functie]] op het [[complexe vlak]] '''C''' met slechts een [[Pool (complexe analyse)|enkelvoudige pool]] in ''s'' = 1. De [[uitgebreide Riemann-hypothese]] stelt dat Re(''s'') = 1/2 als ''ζ''<sub>''K''</sub>(''s'') = 0 en 0 < Re(''s'') < 1.
+In het bijzonder kan de dedekind-zèta-functie worden gedefinieerd als een [[dirichletreeks]]. De dedekind-zèta-functie heeft een [[euler-product]]-expansie, voldoet aan een [[functionaalvergelijking]] en heeft een [[analytische voortzetting]] tot een [[meromorfe functie]] op het [[complexe vlak]] <math>\Complex</math> met slechts een [[Pool (functietheorie)|enkelvoudige pool]] in <math>s=1</math>. De [[uitgebreide riemann-hypothese]] stelt dat <math>\mathrm{Re}(s)=1/2</math> als <math>\zeta_K(s)=0</math> en <math>0<\mathrm{Re}(s)<1</math>.
-De Dedekind-zèta-functie is genoemd naar [[Richard Dedekind]], die deze [[functie (wiskunde)|functie]] in zijn aanvulling op [[Johann Dirichlet]]s  ''[[Vorlesungen über Zahlentheorie]]'' introduceerde.<ref>{{en}} {{aut|Narkiewicz}}, 2004, §7.4.1.</ref>
+De dedekind-zèta-functie is genoemd naar [[Richard Dedekind]], die deze [[functie (wiskunde)|functie]] in zijn aanvulling op [[Johann Dirichlet]]s ''[[Vorlesungen über Zahlentheorie]]'' introduceerde.<ref>{{en}} {{aut|Narkiewicz}}, 2004, §7.4.1.</ref>
 ==Definitie==
-De Dedekind-zèta-functie ζ<sub>''K''</sub> (''s'') van het algebraïsch getallenlichaam ''K'' is gedefinieerd voor complexe getallen ''s'' met  Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;1, door de Dirichletreeks:
+De dedekind-zèta-functie <math>\zeta_K(s)</math> van het algebraïsch getallenlichaam <math>K</math> is gedefinieerd voor complexe getallen <math>s</math> met <math>\mathrm{Re}(s)>1</math>, door de dirichletreeks:
-:<math>\zeta_K (s) = \sum_{I \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_{K/\mathbf{Q}} (I))^{s}}</math>
+:<math>\zeta_K(s) = \sum_{I \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_{K/\Q} (I))^s}</math>
-waarin ''I'' als waarden de niet-nulzijnde [[Ideaal (ringtheorie)|idealen]] van de [[ring van de gehele getallen]] ''O''<sub>''K''</sub> van ''K'' heeft, en ''N''<sub>''K''/'''Q'''</sub>(''I'') de absolute norm van ''I'' is (die is gelijk aan de [[Index (groepentheorie)|index]] [''O''<sub>''K''</sub>&nbsp;:&nbsp;''I''] van ''I'' in ''O''<sub>''K''</sub> of equivalent aan de [[cardinaliteit]] van de [[quotientring]] ''O''<sub>''K''</sub>&nbsp;/&nbsp;''I''). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen ''s'' met Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;1.
+waarin <math>I</math> als waarden de niet-nulzijnde [[Ideaal (ringtheorie)|idealen]] van de [[ring van de gehele getallen]] <math>O_K</math> van <math>K</math> heeft, en <math>N_{K/\Q}(I)</math> de absolute norm van <math>I</math> is (die is gelijk aan de [[Index (groepentheorie)|index]] <math>[O_K:I]</math> van <math>I</math> in <math>O_K</math> of equivalent aan de [[kardinaliteit]] van de [[quotiëntring]] <math>O_K/I</math>). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen <math>s</math> met <math>\mathrm{Re}(s)>1</math>.
 ==Voetnoten==