Dedekind-zèta-functie

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de dedekind-zèta-functie van een algebraïsch getallenlichaam $K$, algemeen aangeduid door $\zeta _{K}(s)$, een generalisatie van de riemann-zèta-functie. De riemann-zèta-functie, die een speciaal geval is waarin $K$ het lichaam van de rationale getallen $\mathbb {Q}$ is.

In het bijzonder kan de dedekind-zèta-functie worden gedefinieerd als een dirichletreeks. De dedekind-zèta-functie heeft een euler-product-expansie, voldoet aan een functionaalvergelijking en heeft een analytische voortzetting tot een meromorfe functie op het complexe vlak $\mathbb {C}$ met slechts een enkelvoudige pool in $s=1$. De uitgebreide riemann-hypothese stelt dat $\mathrm {Re} (s)=1/2$ als $\zeta _{K}(s)=0$ en $0<\mathrm {Re} (s)<1$.

De dedekind-zèta-functie is genoemd naar Richard Dedekind, die deze functie in zijn aanvulling op Johann Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie introduceerde.

Definitie

De dedekind-zèta-functie $\zeta _{K}(s)$ van het algebraïsch getallenlichaam $K$ is gedefinieerd voor complexe getallen $s$ met $\mathrm {Re} (s)>1$, door de dirichletreeks:

$\zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}$

waarin $I$ als waarden de niet-nulzijnde idealen van de ring van de gehele getallen $O_{K}$ van $K$ heeft, en $N_{K/\mathbb {Q} }(I)$ de absolute norm van $I$ is (die is gelijk aan de index $[O_{K}:I]$ van $I$ in $O_{K}$ of equivalent aan de kardinaliteit van de quotiëntring $O_{K}/I$). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen $s$ met $\mathrm {Re} (s)>1$.