Dyskusja:Jednostka urojona

Cytaty

Dwa fragmenty:

i w matematyce jest symbolem takiej liczby zespolonej, dla której zachodzi warunek i2 = − 1.

oraz

i nazywamy jednostką urojoną (ang. imaginary unit, stąd i). Spotykany czasami zapis i=\sqrt{-1} jest niepoprawny, gdyż istnieją dwie takie liczby zespolone z, które spełniają równanie z2 = − 1 (takimi liczbami są i oraz − i).

Ta sama uwaga o błędzie dotyczy pierwszego sformułowania - również -i spełnia r-nie x^2=-1. Oczywiście artykulik należy poprawić i rozbudować - to przecież stub. Ja pewnie już nie zdążę... Narka, 4^@ 20:47, 5 kwi 2006 (CEST)[odpowiedz]

Niezupełnie. Jak konstruujesz liczby zespolone, to r-nie i^2=-1 ma dwa rozwiązania. Jedno nazywasz i drugie nazywasz -i. Wybór może być dowolny, ale jak go raz dokonasz, to musisz się go trzymać Midge 21:32, 5 kwi 2006 (CEST)[odpowiedz]

Racja, lecz to trzeba zaznaczyć w treści. 4^@ 17:25, 6 kwi 2006 (CEST)[odpowiedz]

Merge

a nie lepiej poprzestać na krótkiej definicji i odesłać do hasła Liczby zespolone? nimdil 13:16, 25 kwi 2006 (CEST)[odpowiedz]

Zapis niepoprawny?

Zaraz, bo ja czegoś nie rozumiem... Jak to zapis $i={\sqrt {-1}}$ jest niepoprawny? A kto tak powiedział? I na podstawie czego?

Weźmy równanie x^2 = 5. Chyba uczą w szkole średniej, jak nie wcześniej, że ma ono dwa rozwiązania: $x={\sqrt {5}}$ i $x=-{\sqrt {5}}$ . Innymi słowy, rozwiązaniem tego typu równania jest "plus pierwiastek" i "minus pierwiastek".

Weźmy teraz równanie x^2 = -1. Jest chyba oczywiste, że dwoma rozwiązaniami tego równania są $x={\sqrt {-1}}$ i $x=-{\sqrt {-1}}$ (i co z tego, ze nie są to rozwiązania rzeczywiste). Rozwiązania te oznaczamy (z pewnych, wiadomych chyba powodów) i i -i. A zatem, $i={\sqrt {-1}}$ oraz (co oczywiste) $-i=-{\sqrt {-1}}$ , a więc stwierdzenie podane w treści artykułu jest nieprawdziwe: i to tylko inny zapis liczby ${\sqrt {-1}}$ .

Ktoś umie przedstawić jeden rozsądny argument przeciwko temu rozumowaniu? Jeśli nie, proponuję usunąć kontrowersyjne stwierdzenie z treści artykułu.

Grzegorz Jagodziński 22:43, 27 lis 2006 (CET)[odpowiedz]

W zespolonych pierwiastek definiuje się jako zbiór a nie liczbę, w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, gdzie __wybiera__ się liczbę dodatnią.

{\sqrt {-1}}

to i __oraz__ -i, obie.

{\sqrt {-1}}=i

jest niepoprawny, bo

{\sqrt {-1}}=\{i,-i\}

. --severson, dyskusja: pisz lub czytaj ; Za duża kategoria 20:34, 25 gru 2006 (CET)[odpowiedz]

OK, Zatem operacja pierwiastkowania nie jest funkcją w zespolonych. Natomiast w dalszym ciągu, jeżeli zdefiniowano i jako i^2=-1 to wydawać by się mogło, że i=-i, bo to równanie przecież chyba tak jak z tym pierwiastkiem ma 2 rozwiązania. Chociaż w sumie odnosząc to do wymiarowości świata, to kwestia zwrotu na osi, który przecież w fizyce jest raczej umowny. W dalszym ciągu patrząc na definicję dochodzę do wniosku że sama jednostka powinna być zbiorem. Czy ktoś mógłby się podzielić wiedzą, która pozbawi mnie tych wątpliwości? --boskar (dyskusja) 22:58, 18 mar 2008 (CET)[odpowiedz]

The imaginary unit is sometimes written ${\sqrt {-1}}$ in advanced mathematics contexts (as well as in less advanced popular texts) (en-wiki, http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit). No proszę, a "specjaliści", którzy piszą tutaj w polskiej Wikipedii twierdzą tu, że to jest niepoprawne! To w końcu niepoprawne czy zapisywane w kontekstach zaawansowanej matematyki (jak też i w popularnych tekstach)? Ktoś tu kłamie, ktoś ma rację...

Pozwalam sobie prosić o podanie źródeł tych rewelacji.

Najlepiej dać $\pm {\sqrt {-1}}$

Wartość jednostki rzeczywistej i jednostki urojonej

Jednostka rzeczywista r to po prostu modyfikator jedynki z osi liczb rzeczywistych (1r), a jednostka urojona i to po prostu modyfikator jedynki z osi liczb urojonych (1i). Do każdego modyfikatora przypisana jest inna reguła potęgowania, czyli 1r² = + 1 oraz 1i² = − 1. Jak widać żaden z obu modyfikatorów nie posiada wartości liczbowej tylko wartość działaniowo-znakową - potęgę dająca znak zależnie od reguły. Liczba zespolona w pełnym rozwinięciu może być zatem zapisana jako ar+bi, gdzie r = jednostka rzeczywista, i = jednostka urojona. 79.162.62.167 (dyskusja) 19:49, 18 sie 2008 (CEST)[odpowiedz]

Błąd?

Nie znam sie zbytnio na liczbach urojonych, ale czy zamiast tego:

istnieją dwie różne liczby zespolone $z$ , które spełniają równanie $z^{2}=-1$ (takimi liczbami są $i$ oraz $-i$ ).

Powinno być:

istnieją dwie różne liczby zespolone $z$ , które spełniają równanie $z^{2}=-1$ (takimi liczbami są $z$ oraz $-z$ ).

Chodzi mi o złe użycie niewiadomych

Dokładnie. Ktoś tu miesza dwa pojęcia: równanie

x^{2}=-1

i jednostkę urojoną

i

. Zapis

i={\sqrt {-1}}

nie jest błędem. Jest to zdanie prawdziwe. Po prostu nie mówi wszystkiego. Do pełni szczęścia należałoby dopisać, że także

-i={\sqrt {-1}}

.

Oczywiście że nie. Zapis

i={\sqrt {-1}}

nie jest błędem i mówi wszystko. Natomiast

-i=-{\sqrt {-1}}

.

Po pierwsze, tak właśnie przyjmują inne wersje Wikipedii i podręczniki - proponuję to sprawdzić, zaprzestać wypisywania własnych teorii i zamiast tego dostosować się do powszechnie obowiązujących umów. A jeśli ktoś chce się upierać przy swoim, proszę uprzejmie o podanie źródeł rewelacji.

Po drugie, oczywiście istnieją dwie różne liczby zespolone

z

, które spełniają równanie

z^{2}=-1

, i są to liczby

i={\sqrt {-1}}

oraz

-i=-{\sqrt {-1}}

. Gdyby przyjąć, jak proponuje mój przedpiśca, że także

-i={\sqrt {-1}}

, wówczas rozważane równanie miałoby aż cztery rozwiązania, a nie dwa, co oczywiście po pierwsze jest kompletnym nonsensem, a po drugie godzi w ideę liczb urojonych.

Należy sobie w tym momencie uświadomić dwie rzeczy (o czym zdaje się zapomina notorycznie obrońca błędności (czy niekompletności) równania

i={\sqrt {-1}}

. Mianowicie po pierwsze zapis

{\sqrt {-1}}

, mimo iż nie ma wartości w zbiorze liczb rzeczywistych, operuje na rzeczywistym argumencie. Twierdzenie, że pierwiastki z liczb zespolonych są zbiorami itd., jakoś nie do końca tu więc pasuje. Po drugie, nikt nie będzie chyba kwestionować faktu, że równanie

x^{2}=-1

ma dwa pierwiastki (zespolone), i jeden z nich oznaczamy jako

i

, a drugi jako

-i

. Bez wprowadzania symbolu

i

pierwiastki te oznacza się

{\sqrt {-1}}

oraz

-{\sqrt {-1}}

. Oba zapisy są odpowiednio całkowicie równoważne (a więc jest całkiem inaczej niż twierdzi autor artykułu, nie podając źródła - o co go teraz proszę).

Na koniec warto zauważyć, że w zbiorze liczb rzeczywistych zapisy

{\sqrt {-1}}

oraz

-{\sqrt {-1}}

i tak nie mają sensu, a w szczególności nie można twierdzić, że jeden określa liczbę "dodatnią", a drugi "ujemną", w sensie stosowanym wobec liczb rzeczywistych. Znak minus przed znakiem pierwiastka ma tutaj więc dokładnie takie samo znaczenie jak przed symbolem

i

.

Oczywiście można się z tym zgadzać lub nie. Trzeba chyba jednak stanowczo stwierdzić, że Wikipedia nie powinna być prezentacją osobistych poglądów tych, którzy nie potrafią tego wszystkiego zrozumieć (i w związku z tym piszą to co piszą), ale odbiciem ogólnie przyjętego stanu wiedzy. A ogólnie przyjęte jest, że

i={\sqrt {-1}}

, tak podają też wiki innojęzyczne, i nie można tego wszystkiego zbyć milczeniem, uprawiać radosną twórczość i pisać, że jest inaczej.

Proponuję więc po raz kolejny wykreślić kwestionowane stwierdzenie (jakoby zapis

i={\sqrt {-1}}

był niepoprawny) z tekstu artykułu, a przynajmniej zaznaczyć, że powszechnie przyjmuje się, że jednak jest poprawny (niezależnie, co o tym sądzi autor artykułu i ci wszyscy, którzy go popierają).

Ta dyskusja już była... Zerknijcie najpierw tutaj. Olaf @ 22:56, 5 sty 2009 (CET)[odpowiedz]

sekcja geometria analityczna

Czy tekst: "gdyż każda z nich będzie spełniać równanie i² = 1." nie powinien brzmieć: "gdyż każda z nich będzie spełniać równanie i² = -1" ?Mk1981 (dyskusja) 00:50, 6 lip 2009 (CEST)[odpowiedz]

Prościej:

Okiem amatorki:

-i = i * (-1) = i³
(-i)² = (i³)^² = i⁶
i⁶ = -1 * -1 * -1 = -1
czyli: (-i)² = -1

To tak w ramach dowodu

A tak swoją drogą, zakładając, że ${\sqrt {-i}}=j$ , ${\sqrt {-j}}=k$ i tak dalej, można otrzymać rodzaj ciągu wyrażonego wzorem:

#_n = $i^{1+{\frac {2^{n-1}-1}{2^{n-1}}}}$ ,

gdzie #₁ = i, #₂ = j, #₃ = k i tak dalej.

Co ciekawe, powyższy ciąg dąży do wartości i², czyli do liczby... rzeczywistej.

Amatorka (Gość) 10:30, 18 gru 2010 (CET)