Funkcja Weierstrassa

Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale $[-2,2]$

Funkcja Weierstrassa z parametrami $a=0,5;$ $b=3$ w przedziale $[-0{,}2,1{,}2].$

Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa

W oryginalnej publikacji, funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),$

gdzie $a$ jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast $b$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

$ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .$

Wykres funkcji Weierstrassa

Gdy $ab>1,$ to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

$2+{\frac {\log a}{\log b}}.$

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem $ab>1$) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolona

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.

$z\mapsto {\overline {z}}\,\;\;(z\in \mathbb {C} ).$

Zobacz też

• funkcja eliptyczna Weierstrassa
• funkcja Riemanna

Bibliografia

• O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), s. 15-20, 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne. [zarchiwizowane z adresu]. 
• G.H. Hardy. Weierstrass’s non-differentiable function. „Transactions of the American Mathematical Society”. 17, s. 301–325, 1916. American Mathematical Society. DOI: 10.1090/S0002-9947-1916-1501044-1. 

Linki zewnętrzne

• Paweł Mleczko, Tam i z powrotem, czyli o funkcji ciągłej niemającej stycznej do swojego wykresu w żadnym punkcie, Poznański Portal Matematyczny, matematyka.poznan.pl, 14 grudnia 2016 [dostęp 2024-10-05].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Weierstrass Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).