Kwantowe zjawisko Halla

Kwantowe zjawisko Halla, kwantowy efekt Halla – zjawisko fizyczne mające te same podstawy co klasyczne zjawisko Halla, ale występujące w niższych temperaturach i silniejszych polach magnetycznych.

Obniżanie temperatury i zwiększanie pola magnetycznego pozwala zaobserwować:

• zjawisko Szubnikowa-de Haasa (oscylacje kwantowe),
• całkowite kwantowe zjawisko Halla,
• ułamkowe kwantowe zjawisko Halla.

Całkowite kwantowe zjawisko Halla wykorzystywane jest obecnie jako podstawa wyznaczania oma (jednostki oporu elektrycznego w układzie SI).

(Całkowite) kwantowe zjawisko Halla

Wyniki pomiarów (całkowitego) kwantowego zjawiska Halla

Jego odkrycie zostało w 1985 roku uhonorowane Nagrodą Nobla dla Klausa von Klitzinga. Od jego nazwiska pochodzi nazwa niestandardowej jednostki oporu elektrycznego: klitzing.

Warunkami koniecznymi do zaobserwowania kwantowego zjawiska Halla są:

• bardzo niska temperatura (< 4,2 K),
• silne pole magnetyczne (do kilku tesli); kwantowe zjawisko Halla łatwo zaobserwować na wykresie zależności oporu Halla (napięcie Halla podzielone przez prąd sterujący płynący wzdłuż próbki) od indukcji pola magnetycznego,
• specjalna struktura próbki – taka, by elektrony przewodnictwa miały w niej swobodę tylko w dwóch wymiarach (ang. two dimensional electron gas – 2DEG).

Kwantowe zjawisko Halla polega na przyjmowaniu przez opór elektryczny materiału określonych wartości dyskretnych, podobnie jak inne skwantowane wielkości fizyczne (ładunek elektryczny, pęd, energia elektronów w atomach pierwiastków chemicznych). Wartość oporu elektrycznego jest opisana wzorem:

$R={\frac {h}{n\cdot e^{2}}},$

gdzie:

$h$ – stała Plancka,

$n$ – liczba naturalna (1, 2, 3,...),

$e$ – ładunek elektryczny elementarny

i dla kolejnych liczb naturalnych wynosi on w przybliżeniu 25813, 12906, 8604, 6453, 5163 Ω itd.

Ułamkowe kwantowe zjawisko Halla

Wyniki pomiarów ułamkowego kwantowego zjawiska Halla

W 1998 roku jego odkrycie również zostało uhonorowane Nagrodą Nobla.

Kwantyzacja oporu elektrycznego nieskończonej studni kwantowej

Mimo że laboratoryjna realizacja rezystora, którego kontrolowany opór byłby skwantowany, jest trudna, to kwantyzacje oporu elektrycznego z klitzingiem można przewidzieć już w prostych modelach kwantowych takich jak np. studnia potencjału. Rozważmy nieskończoną studnie kwantową w modelu Bohra-Sommerfelda, tzn. po prostu elektron odbijający się w tę i z powrotem od doskonale twardych ścian oddalonych od siebie o $a$ który podobnie jak w modelu Bohra atomu wodoru może poruszać się jedynie po dozwolonych trajektoriach klasycznych, tzn. tu po odcinku, ale z różnymi prędkościami. Elektron taki jako naelektryzowany ładunkiem $e$ poruszając się jest więc także (zmiennym) prądem elektrycznym i umożliwia zdefiniowanie oporu studni.

Ponieważ trajektoria zamknięta ruchu elektronu to jego przelot przez studnie w tę i z powrotem z pędem o takiej samej wartości bezwzględnej, lecz jedynie zmieniającym kierunek wracając od jednej do tej samej ściany poprzez odbicie od drugiej warunki kwantyzacji Bohra-Sommerfelda

$\oint \limits _{H(p,q)=E}p\,dq=nh$

redukują się do

$2mva=nh,$

dając dozwolone kwantowe wartości prędkości

$v_{n}={\frac {nh}{2ma}}$

i poprawne dokładne energie kwantowe dla nieskończonej kwantowej studni potencjału

$E_{n}={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8ma^{2}}}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ma^{2}}}.$

Definiując napięcie pod którym jest n-ta trajektoria elektronu jako stosunek jego energii do ładunku

$U_{n}={\frac {E_{n}}{e}}$

oraz w naturalny sposób prąd elektryczny jako

$I_{n}=e/T_{n},$

gdzie: $T_{n}$ jest okresem n-tej trajektorii (czasem powrotu elektronu od jednej do tej samej ściany)

$T_{n}={\frac {2a}{v_{n}}},$

otrzymujemy kwantyzacje oporu elektrycznego ze stałą von Klitzinga (klizingiem) (tu dokładnie z jej połową, a więc tu efekt ułamkowy)

$R_{n}={\frac {U_{n}}{I_{n}}}={\frac {n}{2}}{\frac {h}{e^{2}}}.$

W odróżnieniu od oryginalnego kwantowego efektu Halla otrzymujemy tu więc kwantyzacje oporu proporcjonalną, a nie odwrotnie proporcjonalną do liczby kwantowej $n.$

Zobacz też

• anomalne zjawisko Halla

Linki zewnętrzne

• http://info.ifpan.edu.pl/ON-1/Artykuly/K.Wysokinski.1985.pdf
• https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1985/summary/ (ang.)
• poniższe 3 linki z: http://www.fkf.mpg.de/klitzing (ang.)
  • https://web.archive.org/web/20041027003511/http://www.warwick.ac.uk/~phsbm/qhe.htm (ang.)
  • http://web.archive.org/web/20011217232613/http://www.pha.jhu.edu/~qiuym/qhe/qhe.html (ang.)