Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus.

Jednakowa ciągłość

Dalej $X$ i $Y$ oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę ${\mathcal {L}}$ przekształceń liniowych przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y$ nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera $W\subseteq Y$ istnieje takie otoczenie zera $U\subseteq X,$ że

$\Lambda (U)\subseteq W$

dla każdego $\Lambda \in {\mathcal {L}}.$ W przypadku gdy $X$ i $Y$ są przestrzeniami unormowanymi, to rodzina ${\mathcal {L}}$ jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\exists M>0)(\forall \Lambda \in {\mathcal {L}})(\|\Lambda \|\leqslant M).$

Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Niech ${\mathcal {L}}$ będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y.$ Jeżeli zbiór

$F=\{x\in X\colon {\mbox{zbiór }}\{\Lambda x\colon \Lambda \in {\mathcal {L}}\}{\mbox{ jest ograniczony}}\}$

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni $X,$ to ${\mathcal {L}}$ jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór $F$ jest całą przestrzenią.

Wnioski

• Twierdzenie Baire’a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli $X$ jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ zbiór $\{\Lambda x\colon \Lambda \in {\mathcal {L}}\}$ jest ograniczony, to ${\mathcal {L}}$ jest rodziną jednakowo ciągłą.
• Jeżeli $X$ jest F-przestrzenią oraz $\{\Lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}$ jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni $X$ i o wartościach w przestrzeni $Y,$ który jest punktowo zbieżny do przekształcenia $\Lambda ,$ to przekształcenie $\Lambda \colon X\to Y$ jest operatorem liniowym i ciągłym.
• Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009, s. 55–56.