Warunkowa wartość oczekiwana

Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Założenia

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym $P_{\boldsymbol {A}}.$ Niech również $X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie zmienną losową,

gdzie $L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P):=\{X:\Omega \to \mathbb {R} :X$ jest mierzalna $\land \ \mathbb {E} |X|<+\infty \}.$

$\mathbf {A} \in {\mathcal {F}}$ jest zdarzeniem takim, że $\mathbf {P} (A)>0.$

Definicje

Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

\mathbb {E} (X|A)=\int \limits _{\Omega }X(\omega )d\mathbb {P} _{A}

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

\mathbb {E} (X|A)={\frac {1}{P(A)}}\int \limits _{A}X(\omega )d\mathbb {P}

Niech ${\mathcal {G}}$ będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała ${\mathcal {G}}$ nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1) $\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})$ jest ${\mathcal {G}}$ -mierzalna,

2) $\int \limits _{A}E(X|{\mathcal {G}})d\mathbb {P} =\int \limits _{A}Xd\mathbb {P} ,$ dla dowolnego $A\in {\mathcal {G}}.$

Dla dowolnego σ-ciała ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ i zmiennej losowej całkowalnej $X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ istnieje $\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})$ i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech $\Omega =\bigcup _{i\in I}A_{i},$ gdzie $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j,$ i niech ${\mathcal {G}}=\sigma (\{A_{i}:i\in I\}).$ Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała ${\mathcal {G}}$ jest równa:

$\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\sum _{i\in I}\mathbb {E} (X|A_{i})\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}$

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności

Niech $X,Y\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ i niech ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ będzie σ-ciałem. Wówczas:

Jeśli $X$ jest ${\mathcal {G}}$ -mierzalna, to $\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=X,$

$X\leqslant Y\ \Rightarrow \ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\leqslant \mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),$

$a,b\in \mathbb {R} \ \Rightarrow \ \mathbb {E} (aX+bY|{\mathcal {G}})=a\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})+b\mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),$

$|\ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ |\leqslant \mathbb {E} (\ |X|\ |{\mathcal {G}}),$

Dla dowolnego ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {G}}$ mamy:

\mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {G}}{\bigg )}=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {H}}{\bigg )},

$X_{n}\to X\ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb {E} (X_{n}|{\mathcal {G}})\to \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}),$

$\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}){\bigg )}=\mathbb {E} X,$

Jeśli $X$ jest niezależna od ${\mathcal {G}}$ (tzn. σ $(X)$ i ${\mathcal {G}}$ są niezależne), to:

\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\mathbb {E} X,

Jeśli $Y$ jest ograniczoną zmienną ${\mathcal {G}}$ -mierzalną, to:

\mathbb {E} (YX|{\mathcal {G}})=Y\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}).

Zobacz też

Literatura

J. Jakubowski, R. Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. III. ISBN 83-89716-01-1.