Matemática elementar/Função módulo

A função módulo, também conhecida como função do valor absoluto, é aquela que associa a cada número real, a sua distância até a origem. Desta forma, a imagem dessa função normalmente é composta por valores positivos, pois uma distância jamais pode ser negativa. Veja os seguintes problemas em que é aplicada esta função:

Um raio de luz incide em uma superfície plana e perfeitamente lisa. Esta superfície desvia o raio luminoso, que tem trajetória igual ao gráfico da equação modular |x| - 3x - 2y = 0. Utilizando a Lei de Snell, determine o coeficiente de refração da superfície.

Carlos propôs um desafio para Pedro em um jogo de sinuca. Com uma tacada na bola preta, ele deveria encaçapar a bola amarela. A bola amarela não poderia encostar na vez na borda, e para a bola preta era permitido que isto ocorresse somente uma vez. Nenhuma destas bolas poderia encostar nas outras bolas. Pedro, exímio jogador, logo percebeu que possuía diversos caminhos para alcançar seu objetivo, mas qual a equação da trajetória mais segura para este feito? Considere que a bola preta encontra-se na origem do plano, a amarela no ponto (7;1) e a caçapa no ponto (9;3). A mesa e suas bordas são perfeitamente lisas, e as retas que delimitam a mesa são x = -1; x = 9; y = 3 e y = -3.

Definição

O símbolo do módulo é | |. Quando um número apresenta-se entre estas riscas, dizemos que o seu módulo é o valor do número, sempre com sinal positivo. Assim:

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |x| = x
• |-x| = x

Podem aparecer coeficientes na equação modular, o que pode fazer, em alguns casos, o resultado da equação ser negativo:

• -|4| = -4
• |-2| - 5 = -3

Pode-se trocar o sinal de todos os coeficientes do módulo:

• |-y| + 1 = |y| + 1
• |-2x + 3| = |2x - 3|
• |x² - 2x + 1| = |-x² + 2x - 1|

Também, é indiferente resolver o módulo, multiplicação positiva ou divisão positiva primeiro:

• 2|x| = |2x|
• 3x|2x - 5| = |6x² - 15x|

|2x|	=	|x|
2

Gráfico da função

Consideremos a função f(x) = |x|. Determinaremos o contradomínio:

${\begin{array}{c|c}x&y=|x|\\\hline -2&2\\-1&1\\0&0\\1&1\\2&2\\\end{array}}$

Podemos observar que f(x)= f(-x), assim temos que a função módulo é uma função par, pois a imagem repete à medida que os valores absolutos de x repetem.

Características da função modular de primeiro grau

Consideraremos como expressão geral da função modular de primeiro grau:

$f(x)=|ax+b|+cx+d$

Determinaremos como ponto P aquele onde a reta inverte o sentido. As coordenadas deste não são somente determinadas pelos coeficientes lineares b e d, mas também pelos angulares a e c:

$P_{x}={\frac {-b}{a}}$

$P_{y}=cP_{x}+d$

Quanto aos coeficientes angulares a e c, podemos dizer que:

$\tan \alpha =|a|-c$

$\tan \beta =|a|+c$

Os quadrantes de um plano cartesiano.

Sendo α e β os ângulos que cada segmento a partir do ponto P forma com o eixo das abcissas (α, o segmento à esquerda de P e β à direita). Quanto aos valores de α temos as seguintes conclusões:

• Se α < 0, o segmento direciona-se ao quadrante III;
• Se α > 0, o segmento direciona-se ao quadrante II;
• Se α = 0, o segmento direciona-se ao quadrante III (caso P esteja no III ou IV) ou ao II (caso P esteja em I ou no II quadrante). Se P pertencer ao eixo das abcissas, o segmento permanece no eixo das abcissas.

Quanto a β:

• Se β < 0, o segmento direciona-se ao quadrante IV;
• Se β > 0, o segmento direciona-se ao quadrante I;
• Se β = 0, o segmento direciona-se ao quadrante IV (caso P esteja no III ou IV) ou ao I (caso P esteja em I ou no II quadrante). Se P pertencer ao eixo das abcissas, o segmento permanece no eixo das abcissas.

Podemos, também, analisar separadamente cada segmento. Para isso, deve-se utilizar -α.

Ainda pode ocorrer de haver sinal negativo anterior ao módulo. Neste caso, ocorre a reflexão da função no gráfico.

Soma de funções modulares de primeiro grau

Quando ocorre a soma de duas funções modulares, é possível haver mais de dois segmentos no gráfico. Nestes casos, teremos como expressão geral

$g(x)=|ax+b|+|cx+d|+ex+f$

Tenha como exemplo a função g(x) = |x + 1| - |x|:

${\begin{array}{c|c|c}x&g(x)&y\\\hline -2&|-2+1|-|-2|&-1\\-1&|-1+1|-|-1|&-1\\0&|0+1|-|0|&1\\1&|1+1|-|1|&1\\2&|2+1|-|2|&1\\\end{array}}$

Note que esta apresenta três segmentos de reta:

• Quando x ≤ -1, y = -1;
• Quando -1 < x < 0, y = 2x + 1;
• Quando x ≥ 0, y = 1.

Resolução dos problemas

Você viu no início desta página dois problemas que envolvem a função módulo. A resolução destes problemas pode ser visualizada abaixo:

Problema 1

Quando a luz atravessa uma superfície, esta tem sua trajetória desviada, tendo um traçado equivalente ao de uma função modular.

O primeiro problema é uma questão de ótica em que deve ser aplicada a Lei de Snell, que nos diz:

$n_{1}\sin A=n_{2}\sin B$

Onde n são os coeficientes de refração, e sin corresponde ao seno entre a trajetória do raio luminoso e a reta normal.

A equação |x| - 3x - 2y = 0, primeiramente, deve ser convertida para f(x) = |ax + b| + cx + d. Ela fica da seguinte forma:

$f(x)={\frac {|x|-3x}{2}}$

Agora, calcularemos os ângulos dos segmentos que formam o gráfico da função:

$\tan \alpha =\left|{\frac {1}{2}}\right|-{\frac {-3}{2}}\to \tan \alpha =2\to \alpha =\arctan 2$

$\tan \beta =\left|{\frac {1}{2}}\right|+{\frac {-3}{2}}\to \tan \beta =-1\to \beta =45^{\circ }$

Descobertos os ângulos entre o eixo das abcissas e os segmentos, resta descobrir entre os segmentos e a reta normal:

$90-\alpha =90-\arctan 2$

$90-\beta =90-45=45$

A Lei de Snell pode ser aplicada:

$1\sin(90-\arctan 2)=n\sin 45$

Então:

$n={\frac {\sin(90-\arctan 2)}{\sin 45}}=0,63$

Conclui-se que o coeficiente de refração da superfície é igual a 0,63.

Problema 2

O primeiro passo é analisar o melhor trajeto para que a bola amarela seja encaçapada pela bola preta. Observe que se a bola preta for tacada com o ângulo correto na borda inferior da imagem (y = -3), o desafio de Pedro é facilmente concluído.

Para tanto, calculemos o segmento de reta que passa tanto pela bola amarela (7;1) e a caçapa (9;3):

${\begin{cases}7a+b=1\\9a+b=3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}b=1-7a\\2a=2\to a=1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-6\end{cases}}\Rightarrow f(x)=x-6$

Descubramos o ponto P em que a bola bate na borda inferior, substituindo y = -3 na função f(x) = x - 6:

$f(x)=-3\to -3=x-6\to x=3$

$P=(3;-3)$

Calcularemos, então, a reta que liga a bola (origem) ao ponto (3;-3):

${\begin{cases}0+b=0\\3a+b=-3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}b=0\\3a+0=-3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}b=0\\a=-1\end{cases}}\Rightarrow f(x)=-x$

Os ângulos dos dois segmentos de reta são dados pela tangente de seus coeficientes angulares, trocando-se o sinal de α:

$-\alpha =-\tan -1=45^{\circ }=|a|-c$

$\beta =\tan 1=45^{\circ }=|a|+c$

Através de um sistema de equações, podemos descobrir os coeficientes angulares:

${\begin{cases}|a|-c=1\\|a|+c=1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}|a|=1\\c=0\end{cases}}$

Agora podemos descobrir os coeficientes lineares através de P. para isso, optaremos para a = 1:

$P_{x}={\frac {-b}{1}}=3$

$P_{y}=3\times 0+d=-3$

Assim, b = -3 e d = -3.

Portanto:

$f(x)=|1x-3|+0x-3$

Que simplificada:

$f(x)=|x-3|-3$