Operação binária

Na matemática, uma operação binária ou 2-ária é uma operação com dois operandos. Uma operação binária é uma função com duas variáveis de entrada.

Definição

Dados três conjuntos A, B e C, uma operação binária é uma função do produto cartesiano A×B em C.

$f:A\times B\rightarrow C$

Operações binárias diferem, normalmente, da escrita definida em função, f(a,b) = c. Os símbolos utilizados, em sua maioria, são de operador infixo, tomando o caso das operações de adição, multiplicação etc. Denota-se (a + b), não +(a,b).

Operações binárias são a base do estudo de estruturas algébricas, sendo parte de grupos, monóides, semi-grupos, anéis, corpos, domínios de integridade, etc.

Exemplos de operações binárias são as operações da aritmética como adição, divisão e multiplicação (essas operações valem tanto para matemática quanto para programação); predicados lógicos como OR, XOR, AND.

Propriedades

Muitas operações binárias de interesse são comutativas ou associativas. Muitas possuem também um elemento identidade (elemento neutro) e um elemento inversor. Algumas dessas propriedades nos permitem classificar as álgebras em grupos, semi grupos, grupos abelianos, etc.

Fechamento

Seja # uma operação binária em um conjunto S. Dizemos que # é fechada em S se e somente se ∀ a,b ∈ S, (a # b) ∈ S.

Em geral, esta propriedade faz parte da definição de operação binária num conjunto.

Comutatividade

A mesma operação # sobre S diz-se comutativa se

\forall x\forall y,\;(x\;\#\;y)=(y\;\#\;x)

Ex. A adição sobre os naturais.

Identidade

Uma identidade para # sobre S é um elemento e em S para o qual

\forall x,\;(x\;\#\;e)=x\land \ (e\;\#\;x)=x

Ex. 0 é uma identidade para a adição.

Da definição acima é possível afirmar que a identidade para uma operação binária é única. Sejam e, f identidades para #. Então e = e#f = f. Logo e = f. Portanto existe no máximo uma identidade para #.

Associatividade

A operação # sobre S diz-se associativa se e somente se

\forall x,\forall y,\forall z,\;x\;\#\;(y\;\#\;z)=(x\;\#\;y)\;\#\;z

Distributividade

Uma operação binária $ é dita distributiva sobre # se

\forall x\forall y\forall z,\;x\;\$\;(y\;\#\;z)=(x\;\$\;y)\;\#\;(x\;\$\;z)

e

\forall x\forall y\forall z,\;(x\;\#\;y)\;\$\;z=(x\;\$\;z)\;\#\;(y\;\$\;z)

Ex. A multiplicação é distributiva sobre a adição, mas a recíproca não é verdadeira.

Elemento inverso

Seja e a identidade para # sobre S. O elemento x^-1 é um inverso de x com respeito a # sobre S se

\forall x\;(x\;\#\;x^{-1})=e,(x^{-1}\;\#\;x)=e

Se y é um inverso de x com respeito a # então y é único (para cada x). Suponha que a, b são ambos inversos de x com respeito a # sobre S. Seja e a identidade para # sobre S. Então:

a = a # e;
  = a # (x # b);
  = (a # x) # b;
  = e # b;
  = b;

Logo a = b , e portanto existe no máximo um elemento inverso.

Referências

SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta - Uma Introdução. São Paulo: Thomson, 2003. ISBN 85-221-0291-0.

Ver também

Grupoide (estrutura algébrica) - um conjunto S com uma operação binária $\star :S\times S\to S$
Operação unária
Operação ternária