Teorema de Rolle

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Em matemática, nomeadamente em análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua $f$ definida em um intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b),$ se $f(a)=f(b)$ então existe algum ponto $c$ em $(a,b)$ onde a tangente ao gráfico de $f$ é horizontal, isto é, $$f'(c)=0.$$

Colocando em linguagem comum, o teorema afirma que, em qualquer função contínua de intervalo delimitado por pontos $A$ e $B$ de mesma altura, ou mesma coordenada vertical, há algum ponto C em que a derivada da função, isto é, sua taxa de variação instantânea é nula.

É denominado em memória de Michel Rolle.

Intuição

Ilustração do Teorema de Rolle

O enunciado do teorema é intuitivo considerando a exigência de continuidade da própria derivada (se existente) de uma função $f(x)$: se $a$ e $b$ são as coordenadas horizontais de pontos $A$ e $B$ de mesma altura, extremos de um intervalo, então a função $f(x)$ cresce, decresce ou permanece constante para $x>a$, nas vizinhanças de $A$. Se a função é constante, o resultado é trivial: sua derivada é nula em todo o intervalo. Se cresce, sabe-se que eventualmente tem de decrescer para retornar à mesma coordenada vertical do ponto $A$ para chegar ao ponto $B$. Por $f(x)$ ser contínua e diferenciável nesse intervalo, sua derivada também o é, e como a derivada $f'(x)$ começa positiva nas vizinhanças de $A$ e, conforme o valor de $x$ aumenta, torna-se negativa antes de chegar ao ponto $B$, é necessário que exista um ponto tal que $f'(x)=0$. O mesmo raciocínio é aplicável a uma função de derivada inicialmente negativa e posteriormente positiva.

Demonstração

Como $f$ é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo $[a,b]$ um máximo $M$ e um mínimo $m.$

Primeiro, suponha que $M=m$. Então $f$ é constante no intervalo considerado e, consequentemente, a derivada é $0$ em todos os pontos. Portanto, o teorema é verdadeiro neste caso.

Suponha agora que $M\neq m$. Então a função assume no interior do intervalo $[a,b]$ um máximo, um mínimo ou até os dois. Admita-se, sem perda de generalidade, que $f$ assume o valor máximo $M$ no ponto $c$ tal que $a<c<b.$

Então, para valores de $x<c$, temos $x-c<0$ e também $f(x)-f(c)\leq 0$. Portanto,

${\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\geq 0.$

Como $f$ é diferenciável no intervalo $(a,b)$, segue que

$\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\geq 0.$

Para valores de $c$ à direita de $x,$ temos $x-c>0$ e $f(x)-f(c)\leq 0$. Portanto,

${\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\leq 0,$

e, também,

$\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\leq 0.$

Mas então conclui-se que

$f'(c)\geq 0$ e $f'(c)\leq 0,$

o que só é possível se

$f'(c)=0,$

provando-se assim o teorema.

A demonstração seria análoga se em vez de um ponto de máximo admitíssemos a existência de um ponto de mínimo no intervalo.

Corolários

1. Resulta do teorema de Rolle que, se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, então entre quaisquer dois zeros de $f$ há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio $p(x)$ de grau $n$ com coeficientes reais tem, no máximo, $n$ raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
2. Se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de $f$ (podendo não existir nenhum).