Лемма Бёрнсайда

Лемма Бёрнсайда (или лемма Коши — Фробениуса) — классический результат комбинаторной теории групп, даёт выражение на число орбит в действии группы. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойи.

Формулировка

Пусть $G$ — конечная группа, действующая на множестве $X$. Тогда число орбит действия равно среднему количеству точек, фиксированных в $X$ элементами $G$.

Точнее, для любого элемента $g$ из $G$ будем обозначать через $X^{g}$ множество элементов $X$, оставляемых на месте $g$, то есть

$X^{g}=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}.$

Тогда (натуральное число или бесконечность)

$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,$

здесь $|X/G|$ обозначает число орбит действия.

Доказательство

Число орбит равно $\sum _{m\in X}{\frac {1}{|Orb(m)|}}$, но по формуле орбит $|Orb(m)|=[G:G_{m}]={\frac {|G|}{|G_{m}|}}$, где $G_{m}$ означает стабилизатор элемента $m$, значит, сумма равна ${\frac {1}{|G|}}\sum _{m\in X}|G_{m}|$. Выпишем в столбик все элементы $X$ и напишем рядом с каждым $m$ те элементы $G$, которые оставляют данный элемент неподвижным. Тогда произвольный элемент $g$ группы $G$ встретится такое же число раз, какое он оставляет элементы $X$ неподвижными, то есть в точности $|X^{g}|$ раз, а потому сумма $\sum _{m\in X}|G_{m}|$ равна сумме $\sum _{g\in G}|X^{g}|$, что и утверждалось.

Следствия

• Если действие конечной группы $G$ на множестве $X$ транзитивно, то

$\sum _{g\in G}|X^{g}|=|G|.$

История

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.

Литература

• Burnside, William. Theory of groups of finite order. — Cambridge University Press, 1897.
• Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, at Project Gutenberg and here at Archive.org. (Это первое издание; введение ко второму изданию содержит известный крутой поворот Бёрнсайда в отношении полезности теорий представлений.)
• Frobenius, Ferdinand Georg (1887), "Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul", Crelle, CI: 288.
• Neumann, Peter M. (1979), "A lemma that is not Burnside's", The Mathematical Scientist, 4 (2): 133—141, ISSN 0312-3685, MR 0562002.
• Rotman, Joseph (1995), An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8.

Ссылки

• Р. Борчердс, Group theory 10: Burnside's lemma на YouTube