Размерность Минковского

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

$\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon )}}$,

где $N_{\varepsilon }$ — минимальное число множеств диаметра $\varepsilon$, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

• размерность конечного множества равна нулю, так как для него $\rho (n)$ не превосходит количества элементов в нём.
• размерность отрезка равна 1, так как необходимо $\lceil a/\epsilon \rceil$ отрезков длины $\epsilon$, чтобы покрыть отрезок длины $a$. Таким образом,

  $\lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln a-\ln \epsilon }{-\ln \epsilon }}=1$,

• размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю $1/n$, необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной $a$, ведет себя примерно как $a^{2}n^{2}$.
• размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна $\ln 4/\ln 3$.

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра $1/n$, нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра $2/n$. Поэтому для отрезка имеем $\rho (n)\approx 2\rho (n/2)$. То есть, при увеличении $n$ в два раза $\rho (n)$ увеличивается тоже в два раза. Иными словами, $\rho (n)$ — линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает $\rho (n)\approx 4\rho (n/2)$. То есть, при увеличении $n$ в два раза $\rho (n)$ увеличивается в 4 раза. Иными словами, $\rho (n)$ — квадратичная функция.

Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё $\rho (n)\approx 4\rho (n/3)$. Подставляя $n=3^{k}$, получаем $\rho (3^{k})\approx 4\rho (3^{k-1})\approx 4^{2}\rho (3^{k-2})\approx \dots \approx 4^{k}\rho (1)=4^{\log _{3}n}\rho (1)=n^{\ln 4/\ln 3}\rho (1)$. Отсюда следует, что размерность равна $\ln 4/\ln 3$.

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет $4^{n}$ равных отрезков, длиной $3^{-n}$. Возьмём за ε отрезок длиной $3^{-n}$, тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится $4^{n}$ отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→$\infty$. Получим

  $\lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}}={\frac {\ln 4}{\ln 3}}$

• размерность Минковского множества $\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots \}$ равна 1/2.

Свойства

• Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
• Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
• Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также

• Размерность Хаусдорфа
• Фрактал
• Эпсилон-энтропия

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000