Рефлексивное пространство

Рефлексивное пространство — банахово пространство (в более общем случае локально выпуклое пространство) $X$, совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным $X^{**}$.

Рефлексивные банаховы пространства

Пусть $X$ — банахово пространство над полем ${\mathbb {C} }$ комплексных чисел, а $X^{*}$ — пространство, сопряженное к $X$, то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов $f:X\to {\mathbb {C} }$ с нормой

$||f||=\sup _{||x||\leq 1}|f(x)|$.

Второе сопряженное пространство $X^{**}$ определяется как пространство, сопряженное к $X^{*}$. При фиксированном $x\in X$ отображение $f\in X^{*}\mapsto f(x)\in {\mathbb {C} }$ является линейным непрерывным функционалом на $X^{*}$, то есть элементом пространства $X^{**}$. Поэтому определено отображение $J_{X}:X\to X^{**}$, $J_{X}(x)(f)=f(x)$, $x\in X$, $f\in X^{*}$. Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство $X$ называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения $J_{X}:X\to X^{**}$, то есть условие $J_{X}(X)=X^{**}$.

Примеры

• Пространства $\ell _{p}$ и $L_{p}(a,b)$, $1<p<\infty$, рефлексивны,
• Пространства $C[a,b]$, $L_{1}[a,b],L_{\infty }[a,b]$ не рефлексивны.

Свойства

• Пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X^{*}$ рефлексивно.
• Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
• Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например $L_{1}$.
• Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства $X$ обозначим через $X^{*}$ пространство линейных непрерывных функционалов на $X$, наделенное сильной топологией $\beta (X',X)$, то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в $X$. Пространство $X^{*}$ называется сопряженным пространством к пространству $X$. Как и в банаховом случае второе сопряженное пространство $X^{**}$ определяется как пространство, сопряженное к $X^{*}$. Формула $J_{X}(x)(f)=f(x)$, $x\in X$, $f\in X^{*}$ определяет естественное отображение пространства $X$ во второе сопряженное пространство $X^{**}$.

Если отображение $J_{X}:X\to X^{**}$ является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство $X$ называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

• В частном случае, когда пространство $X$ банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства.
• Пространство ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ гладких функций на гладком многообразии $M$ рефлексивно.
• Пространство ${\mathcal {O}}(M)$ голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии $M$ рефлексивно.

Стереотипные пространства и другие обобщения рефлексивности

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств) используемых в функциональном анализе класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия путём переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства $X^{*}$. По контрасту с классическими рефлексивными пространствами класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого факторпространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения, и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в $X$ в определении сопряженного пространства $X^{*}$ другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в$X$ — пространства определенные соответствующим условием рефлексивности называются рефлективными, и они образуют даже более широкий класс чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
• Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
• Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).

• Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.