Öppen mängd

En öppen mängd är ett topologiskt begrepp inom matematik. Informellt är en öppen mängd en mängd som inte innehåller några punkter på sin rand, dvs. den kurva eller yta som begränsar mängden är inte själv en del av mängden. Man kan ofta, men inte alltid, intuitivt tänka sig en öppen mängd som att en mängd G är öppen om det för varje element i G finns ett litet klot centrerat på elementet som också är en delmängd till G.

Den generella definitionen av en öppen mängd är helt enkelt att en öppen mängd är en mängd som tillhör topologin på rummet. En mängd vars komplement tillhör topologin kallas sluten.

Öppna mängder är grundläggande i reell och komplex analys och ingår i den mer generella definitionen av kontinuerliga funktioner. De förekommer ofta i samband med metriska rum som i sig är topologiska rum. Topologin definieras där utifrån metriken, och därmed också vilka mängder som är öppna.

Notera

• Öppna mängder är alltid delmängder av ett topologiskt rum.
• Tomma mängden och rummet självt är alltid öppna.
• Tomma mängden och rummet självt är alltid slutna. Detta följer av definitionen av sluten mängd och ovanstående.
• Varje union av öppna mängder är öppen.
• Skärningen av ändligt många öppna mängder är öppen.
• Komplementet till en öppen mängd kallas sluten mängd. Därför är komplementet till en sluten mängd per definition öppen.

En mängd kan vara sluten, öppen, både öppen och sluten eller ingetdera. För att avgöra vilket som gäller måste man använda definitionen av topologin på rummet.

Exempel

De reella talen är ett metriskt rum och därmed ett topologiskt rum. Där definieras ett öppet intervall (a, b) som

$(a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a<x<b\}.$

En öppen mängd kan sedan definieras som en union av öppna intervall.

Denna definition kräver dock två anmärkningar. Dels talar man ofta om öppna bollar (med centrum och radie) i metriska rum snarare än öppna intervall som bara fungerar om man har en ordning (<) som matchar metriken. Dels återstår det att bevisa/konstatera att skärningen mellan två öppna intervall (bollar) i sig kan skrivas som en union av öppna intervall (bollar). Först då kan man säga att ett öppet intervall är en öppen mängd.

Se även

• Sluten mängd