குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்

குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் (direct product of groups) என்பது குலக்கோட்பாட்டில் குலங்களுக்கிடையே நிகழும் ஒரு செயலி. G , H எனும் இரு குலங்களுக்கிடையே இச்செயலியைப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு புதுக் குலமாக (G × H) இருக்கும். கணங்களில் வரையறுக்கபட்டுள்ள கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் என்ற செயலிக்கு ஒத்தசெயலியாக இது குலங்களில் உள்ளது.

ஏபெல் குலங்களில் இப்பெருக்கம் சிலசமயங்களில் நேர்க் கூட்டல் (G ⊕ H) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது . ஏபெல் குலங்களை வகைப்படுத்துவதில் நேர்க் கூட்டல் முக்கியப் பங்குவகிக்கிறது. முடிவுறு ஏபெல் குலங்களின் வரையறைப்படி, ஒவ்வொரு முடிவுறு ஏபெல் குலத்தையும் இரு சுழற் குலங்களின் நேர் கூட்டலாகக் காணமுடியும்.

வரையறை

தரப்பட்ட இரு குலங்கள் G, H எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் G × H பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$G\times H=\{(g,h):g\in G,h\in H\}$

(g₁, h₁) · (g₂, h₂)  =  (g₁·g₂, h₁·h₂) என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து G × H இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது:

சேர்ப்பு விதி

G × H இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்புத்தன்மை உடையது

முற்றொருமை உறுப்பு

இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு (1_G, 1_H). இதில் 1_G, G இன் முற்றொருமை உறுப்பு; 1_H,  H இன் முற்றொருமை உறுப்பு.

நேர்மாறு உறுப்புகள்

G × H இன் உறுப்பு (g, h) இன் நேர்மாறு உறுப்பு:

(g⁻¹, h⁻¹),

இங்கு G இல் g இன் நேர்மாறு உறுப்பு g⁻¹; H இல் h இன் நேர்மாறு உறுப்பு h⁻¹

$(g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1})$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (R,+) எனில் நேர்ப்பெருக்கம்:

$R\times R=\{(x,y):x,y\in R\}$

இதன் உறுப்புகள் (x, y) திசையன்கள். திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து இது ஒரு குலமாகும்.

திசையன் கூட்டல்:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂)  =  (x₁+x₂, y₁+y₂).

• G, H என்பவை இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலங்கள்:

G * 1 a 1 1 a a a 1

H * 1 b 1 1 b b b 1

இவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் G × H, கிளைன் நான்குறுப்பு குலத்துடன் சமஅமைவியமுடையது:

G × H

*	(1, 1)	(a, 1)	(1, b)	(a, b)
(1, 1)	(1, 1)	(a, 1)	(1, b)	(a, b)
(a, 1)	(a, 1)	(1, 1)	(a, b)	(1, b)
(1, b)	(1, b)	(a, b)	(1, 1)	(a, 1)
(a, b)	(a, b)	(1, b)	(a, 1)	(1, 1)

அடிப்படைப் பண்புகள்

• G × H குலத்தின் கிரமம் G மற்றும் H குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:

| G × H |  =  | G | | H |.

• G × H இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு (g, h) இன் கிரமம் g, h இன் கிரமங்களின் மீச்சிறு பொது மடங்காகும்:

| (g, h) |  =  lcm( | g |, | h | ).

குறிப்பாக | g |, | h | இரண்டும் சார்பகா எண்கள் (relatively prime) எனில் (g, h) இன் கிரமம், g மற்றும் h இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.

• G , H இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில் G × H ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும்.

m , n இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில்

( Z / mZ ) × ( Z / nZ )  ≅  Z / mnZ.

பொதுமைப்படுத்தல்

இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும்.

தரப்பட்ட குலங்கள் G₁, ..., G_n எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்

$\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}$

பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

• G₁ × ··· × G_n உறுப்புகள் (g₁, ..., g_n), g_i ∈ G_i (ஒவ்வொரு i க்கும்) வடிவில் அமையும்.
• G₁ × ··· × G_n இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி: (g₁, ..., g_n)(g₁′, ..., g_n′)  =  (g₁g₁′, ..., g_ng_n′).

இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.

மேற்கோள்கள்

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-89871-510-1
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-22025-3.
• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-94461-6.