Квадратична форма

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Означення

Нехай $K$ є полем. Квадратичною формою над полем $K$ називається однорідний многочлен другого степеня, тобто:

$q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.$

Якщо характеристика поля не є рівною 2, то як правило у цьому виразі $a_{ij}=a_{ji}.$ В іншому випадку можна ввести нові коефіцієнти $a'_{ij}=a'_{ji}={\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}.$ Для полів характеристики 2 таку заміну не можливо провести.

Квадратичну форму від n змінний називають n-арною, зокрема бінарною для n = 2.

Квадратичні простори і білінійні форми

Еквівалентно , нехай $V$ є скінченновимірним векторним простором $K$. Тоді квадратичною формою називається відображення $q:V\to K$ для якого $q(av)=a^{2}q(v)$ для всіх $a\in K,v\in V$ і відображення $q(u+v)-q(u)-q(v)$ є білінійним, тобто лінійним по аргументах $u$ і $v$.

Простір $V$ із введеною квадратичною формою називається квадратичним простором.

Для полів характеристика яких не є рівною 2 квадратична форма породжує симетричну білінійну форму:

$b_{q}(u,v)={\tfrac {1}{2}}(q(u+v)-q(u)-q(v)).$

Ця білінійна форма називається асоційованою білінійною формою. Навпаки симетрична білінійна форма $b(u,v)$ породжує квадратичну форму:

$q(u)=b(u,u).$

Для полів характеристики 2 можна ввести білінійну форму $q(u+v)-q(u)-q(v)$ пов'язану із квадратичною але у цьому випадку навпаки ця форма не визначає початкову квадратичну форму оскільки $q(u+u)-q(u)-q(u)=0.$

Асоційовані білінійні форми дозволяють записати квадратичну форму як однорідний многочлен другого степеня від координат вектора у деякому базисі $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$. А саме:

$q(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},$

де $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}$ — розклад вектора через елементи базису, а $a_{ij}=a_{ji}=b_{q}(e_{i},e_{j})=b_{q}(e_{j},e_{i}).$

Для двох квадратичних просторів $(V,q_{1})$ і $(W,q_{2})$ лінійне відображення називається ізометрією якщо воно є ін'єктивним і $q_{1}(v)=q_{2}(T(v)).$ Якщо це лінійне відображення є ізоморфізмом, то простори називаються ізометричними. Ізометричні простори є ізоморфними як квадратичні простори.

Матриця квадратичної форми

Нехай $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}$ є квадратичною формою.

Матрицю $A=(a_{ij})$ називають матрицею квадратичної форми $q(x)$. У разі, якщо характеристика поля $K$ не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто $a_{ij}=a_{ji}$.

Позначивши $x$ вектор-стовпець змінних $x_{1},\ldots ,x_{n}$ квадратичну форму можна записати у матричному виді:

$q(x)=x^{\mathrm {T} }Ax.$

Навпаки кожна симетрична матриця таким чином задає квадратичну форму.

Якщо квадратична форма визначена як квадратичне відображення на квадратичному просторі над полем характеристика якого не є рівною 2, то елементи матриці задаються значеннями асоційованої білінійної форми для деякого базису $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$:

$a_{ij}=b_{q}(e_{i},e_{j}).$

Якщо $\ (e_{1},\ldots ,e_{n})$ — деякий базис лінійного простору $\ V,$ то квадратична форма буде представлена як:

$q({\textbf {x}})={\textbf {x}}^{\mathrm {T} }A{\textbf {x}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$

Якщо $\ (e'_{1}\ldots e'_{n})=(e_{1}\ldots e_{n})S$ деякий інший базис e $\ V,$ де $\ S$ — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

$\ A'=S^{T}AS.$

Квадратичні форми називаються еквівалентними, якщо їх матриці пов'язані рівністю $A'=C^{T}A\,C$ для деякої невиродженої матриці $C$.

З формули $A'=C^{T}A\,C$ випливає, що визначник матриці квадратичної форми не є її інваріантом (тобто не зберігається при заміні базису, на відміну, наприклад, від матриці лінійного відображення), але її ранг є інваріантом. Таким чином, визначено поняття рангу квадратичної форми.

Якщо матриця квадратичної форми має повний ранг $n$, то квадратичну форму називають невиродженою, в іншому випадку - виродженою.

Приклади

Квадратична форма від однієї змінної:

$\ Q(x)=ax^{2},$

Квадратична форма від двох змінних:

$\ Q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy,$

Квадратична форма від трьох змінних:

$\ Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.$

Канонічна форма

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: $\ Q(x)=\sum _{i}\lambda _{i}x_{i}^{2}$.

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа). Дана діагоналізація може бути не є диною

У випадку дійсних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі $\lambda _{i}$ рівні 1, -1 або 0. Для комплексних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі $\lambda _{i}$ рівні 1 або 0.

Для дійсних квадратичних форм виконується закон інерції Сильвестра: кількість нульових, додатних та від'ємних елементів $\ \lambda _{i}$ в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.

Означені дійсні квадратичні форми

Квадратична форма $\ Q(x)$ над полем дійсних чисел називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо $\forall x\neq 0:\;\;Q(x)>0\quad (Q(x)<0).$

Одним із важливих результатів про додатноозначені і від'ємноозначені матриці є критерій Сильвестра:

• Квадратична форма є додатноозначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
• Квадратичная форма є від'ємноозначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Квадратичні форми // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 63. — 594 с.