Кососиметрична матриця

Косо-симетричною (чи антисиметричною) називають квадратну матрицю, елементи якої симетричні зі знаком мінус щодо головної діагоналі, тобто:

$\forall i,j:\;\;a_{ij}=-a_{ji}.$

Тобто:

$\ A^{T}=-A.$

Поняття розглядають переважно для матриць над кільцем характеристика якого не є рівною 2. Якщо характеристика є рівною 2, то кососиметричні матриці у попередньому означенні є еквівалентними симетричним. Іноді у цьому випадку додатково вимагається умова щоб усі елементи на діагоналі були рівні 0.

Приклади

Прикладами кососиметричних матриць є

• $A={\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}},\$ адже $\ A^{T}={\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&4\\-1&-4&0\end{pmatrix}}=-A.$
• $A={\begin{pmatrix}0&7&23\\-7&0&-4\\-23&4&0\end{pmatrix}}\$ оскільки $A^{T}={\begin{pmatrix}0&-7&-23\\7&0&4\\23&-4&0\end{pmatrix}}=-A$.

Властивості

• Сума двох кососиметричних матриць і добуток кососиметричної матриці на скаляр є кососиметричними матрицями. Тобто кососиметричні матриці утворюють лінійний підпростір простору квадратних матриць заданого порядку. Розмірність цього підпростору є рівною ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$
• Будь-яка квадратна матриця може в єдиний спосіб бути записаною як сума кососиметричної і симетричної матриць. А саме, якщо ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ то можна записати:

$A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right),$

де перший доданок є кососиметричною матрицею, а другий — симетричною.

• Для визначника кососиметричної матриці виконується рівність:

$\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).$

Як наслідок визначник кососиметричної матриці (характеристика елементів якої не є рівною 2) завжди є рівним 0.

• Якщо до всіх елементів матриці додати однаковий елемент, то визначник одержаної матриці буде рівним визначнику самої матриці. Тобто, якщо A є кососиметричною матрицею і E — квадратною матрицею того ж порядку усі елементи якої рівні 1, то для будь-якого x виконується рівність $\det(A+xE)=\det A.$
• Ранг кососиметричної матриці завжди парний.
• Визначник кососиметричної матриці парного порядку, як многочлен від її елементів є рівний квадрату многочлена який називається пфаффіаном матриці:

$\det {(A)}=\operatorname {Pf} (A)^{2}.$

Матриці з дійсними елементами

• Власні значення кососиметричної матриці із дійсними числами є уявними числами і для кожного такого власного значення його комплексне спряжене теж є власним значенням.
• Квадрат дійсної кососиметричної матриці є симетричною напіввід'ємно визначеною матрицею.
• Дійсна кососиметрична матриця є нормальною, а тому вона є діагоналізомною над полем комплексних чисел і більш того можна записати $A=U\Lambda U^{*},\$ де U є унітарною матрицею, а $\Lambda$ — діагональною.
• Над полем дійсних чисел можна натомість записати: $A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ де $Q$ є дійсною ортогональною матрицею, а $\Sigma$ має вигляд:

$\Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Дивись також

• Антисиметричний тензор
• Ермітова матриця
• Косоермітова матриця
• Пфаффіан
• Симетрична матриця
• Теорія матриць

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)