Принцип максимуму модуля

Принцип максимуму модуля — теорема у комплексному аналізі, що описує одну з основних властивостей модуля голоморфних функцій.

Твердження

Якщо $f$ є голоморфною в деякій області $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ і існує точка $z_{0}\in D$ така, що у всій області $D$ виконується нерівність $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm {const}$.

Іншими словами, модуль голоморфної функції, відмінної від константи, не може мати локальних максимумів всередині області $G$.

Отже, якщо $f(z)$ є неперервною в обмеженій замкнутій області $D$ і голоморфною у внутрішніх точках, то найбільше значення модуля функції досягається тільки в граничних точках області $D$.

Доведення

Існує кілька доведень теореми. Зокрема принцип максимуму модуля є наслідком принципу збереження області.

Оскільки образом голоморфної функції на області теж є область, то для кожної точки образу існує круг, що належить образу. У цьому кругу, очевидно, існують точки як із більшим, так і з меншим модулем, ніж у центрі круга. Оскільки точка у образі функції вибрана довільно це завершує доведення.

Також теорему можна довести за допомогою теореми про середнє значення. Припустимо, що $z\in D$ точка в якій модуль функції приймає максимальне значення.

Нехай $r>0$, таке що $B_{r}\left({z}\right)\subset D$. Згідно теореми про середнє значення:

$\displaystyle f\left({z}\right)={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left({z+re^{i\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta$

Тоді:

$\displaystyle \left\vert {f\left({z}\right)}\right\vert \leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left\vert {f\left({z+re^{i\theta }}\right)}\right\vert \,\mathrm {d} \theta \leq \max _{\theta }\left\vert {f\left({z+re^{i\theta }}\right)}\right\vert$

Тому має виконуватися:

$\exists \omega \in C_{r}\left({z}\right):\left\vert {f\left({z}\right)}\right\vert \leq \left\vert {f\left({\omega }\right)}\right\vert$

де $C_{r}\left({z}\right)$ є колом радіуса $r$ з центром в точці $z$.

До того ж рівність можлива тільки тоді коли $\left\vert {f}\right\vert$ є константою на $C_{r}\left({z}\right)$. Оскільки рівність виконується для всіх $r>0$, $\left\vert {f}\right\vert$ буде константою на $B_{r}\left({z}\right)$. Тоді $f$ має бути константою на $D$, що суперечить умові.

Як наслідок:

$\exists \omega \in C_{r}\left({z}\right):\left\vert {f\left({z}\right)}\right\vert <\left\vert {f\left({\omega }\right)}\right\vert$

Наслідки

• Принцип мінімуму модуля. Якщо $f$ голоморфна в деякій області $G\subset \mathbb {C} ^{n}$, що не є рівною нулю в жодній точці, і існує точка $z_{0}\in G$ така, що у всій області $G$ виконується нерівність $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm {const}$. (Тобто локальні мінімуми модуля голоморфної функції, що не є рівною константі, можуть досягатися тільки в тих точках, де функція рівна нулю.)
• Принцип максимуму дійсної і уявною частини. Якщо для голоморфної функції $f(z)$ в точці $z_{0}\in G$ досягається локальний максимум (мінімум) її дійсної (або уявної) частини, то функція $f(z)$ є константою.

(Тут використовується звичайний принцип максимуму модуля для функцій $e^{f(z)}$ і $e^{if(z)}$, а також рівність $\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm {Re} \,f(z)}$.)

• Нехай $K\subset \mathbb {C} ^{n}$ — компактна підмножина. Для будь-якої функції $f$, неперервної на $K$ і голоморфної всередині $K$, виконано рівність:

$\|f\|_{K}=\|f\|_{\partial K}.$ Якщо послідовність таких функцій рівномірно збігається на границі компакта $K$, тоді вона рівномірно збігається на всьому $K$.

Узагальнення

Твердження принципу максимуму модуля є справедливим і у випадку випадку, якщо $f(z)$ є голоморфною функцією на зв'язаному комплексному многовиді, зокрема на рімановій поверхні.

Замість голоморфності $f(z)$ у твердженні теореми достатньо припустити тільки, що $f(z)=u(z)+iv(z)$ — (комплексна) гармонічна функція, тобто $u(z),v(z)$ є гармонічними як дійсні функції двох дійсних змінних. Довільна голоморфна функція є комплексною гармонічною.

Для голоморфної функції $f(z)$ модуль $|f(z)|$ є логарифмічно субгармонічною функцією, тобто її логарифм є субгармонічною функцією.

Принцип максимуму модуля узагальнюється і на голоморфні відображення. Нехай $F=(f_{1},\ldots ,f_{m}):D\to \mathbb {C} ^{m}$ — голоморфне відображення області $D$ в просторі $\mathbb {C} ^{n}$, тобто $f_{j}$ — голоморфні функції і $\|F\|={\sqrt {|f_{1}|^{2}+\ldots |f_{m}|^{2}}}$ — евклідова норма. Тоді ні в якій точці функція $\|f(z)\|$ не може досягати локального максимуму.

Принцип максимуму модуля є справедливий щоразу, коли виконується принцип збереження області.

Див. також

• Лема Шварца
• Принцип збереження області

Література

• Шабат, Б. В. (1976), Введение в комплексный анализ, ч. I, «Наука»
• Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983 ISBN 978-3110041507
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310, Zbl 776.32001.