阿貝爾定理

阿貝爾定理係冪級數嘅一個重要結果。

定理

假設 $f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ 係個一冪級數，佢嘅收斂半徑係 R。若對收斂圓（模長係 R 嘅覆數嘅集合）上面嘅某個覆數 $z_{0}$，級數 $\sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}$ 收斂，就有：$\lim _{t\to 1^{-}}f(tz_{0})=\sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}$。

若果 $\sum _{n\geq 0}a_{n}R^{n}$收斂，則結果顯然成立，唔需要引用呢個定理。

例子同應用

阿貝爾定理嘅一個實際應用係用嚟計算已知收斂級數。方法係通過喺級數每項後面加上 $x^{n}$ 項，將問題換成冪級數求和，最後再計埋 x 趨於 1 嗰陣時冪級數嘅極限。由阿貝爾定理之中可以知道，呢個極限就係原級數嘅和。

1. 為計算收斂級數$\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$，設 $f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x)$。於是有 $\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2$
2. 為計算收斂級數$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$，設 $g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)$。所以有 $\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$