拓撲維數

拓撲空間 $X$ 的拓撲維數是 n ，若且唯若 n 是最小的整數使得以下陳述成立：

對於 $X$ 任意的一個有限開覆蓋$A$，都存在另一個有限開覆蓋$B$，使得 $B$是$A$的精細，且$X$內的每個點都只屬於至多 n+1 個$B$的元素。

拓撲維數又稱勒貝格維數。

圖象化來解釋：

右圖是左圖的精細。用彩色區域表示開集。留意在右圖內，黑色圓線上的每點都被包含於至多兩個開集內。

左下圖是上圖的精細。灰色方形內的每點都被包含於至多三個開集內。右下圖內，我們嘗試勾勒上圖的精細，使得灰色方形上的每點都被包含在不超過兩個開集內——但那是做不到的。由此可知灰色方形的拓撲維數必然大於1。

參見

• 勒貝格測度
• 豪斯多夫维数
• 計盒維數