Logaritmo natural

Logaritmo natural eta logaritmo nepertar terminoak sinonimo bezala erabili arren, izatez bi kontzeptu ezberdin dira. Informazio gehiago eskuratzeko, ikusi logaritmo nepertar.

Logaritmo arruntaren grafikoa.

Matematikan, logaritmo natural edo logaritmo nepertar (modu informalean) deitzen zaie oinarri gisa e zenbakia duten logaritmoei (e zenbaki irrazional bat da, gutxi gorabehera balio honetakoa: 2,7182818284590452353602874713527). Logaritmo naturala $\log _{e}x$ edo $\ln x$ notazioaren bidez adierazten da.

Beraz, x zenbaki baten logaritmo arrunta hura lortzeko e berretu behar duen a zenbakia da; hau da, ln(x)=a eta e^a=x ekuazioak baliokideak dira. Adibidez, 7,38905... zenbakiaren logaritmo naturala 2 da, e²=7,38905... baita; eta ln(e)=1 da, e¹=e da-eta.

Ikuspuntu analitikotik, edozein zenbaki x>0 positiboren logaritmo arrunta y=1/t kurbaren 0 eta x arteko azalera bezala defini daiteke. Definizio hain sinple honek ematen dio logaritmo mota honi "natural" izendapena.

Logaritmo naturala zenbaki erreal positiboez osatutako definizio-eremuko funtzio erreala da:

${\text{ln}}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$

eta funtzio esponentzial naturalaren alderantzizko funtzioa da:

$e^{{\text{ln}}\,x}=x{\text{, }}x>0{\text{ osorako}}$

${\text{ln}}(e^{x})=x\!$

Logaritmo arruntaren alderantzizkoa funtzio esponentziala da.

Historia

Logaritmo arrunta Nikolaus Mercatorren Logarithmotechnia-n aipatu zen lehen aldiz (1668an argitaratua), nahiz eta John Speidell matematika irakasleak jadanik logaritmo naturalaren balio taula bat eratu izan 1619an. Formalki logaritmo hiperboliko deitu ohi zen, haren balioak hiperbola baten azpiko azalerarenak baitira. Batzuetan logaritmo "natural" eta "nepertar" izendapenak sinonimo gisa erabiltzen dira, jatorrizko esanahiak pixka bat ezberdinak izan arren.

Logaritmo natural terminoaren jatorria

Hasiera batean, sistema hamartarra zenbaki-sistema arruntena bihurtu zenetik, 10 oinarria e oinarria baino "naturalagoa" irudi dezake; baina matematika arloan, 10a ez da ezertarako zenbaki berezia. Bere erabilpen hedatua (zenbakitze-sistema gisa) ziur aski gizakion hatz kopurutik dator, errazagoa baita hamarnaka zenbatzea. Historian zehar kultura batzuk beste oinarritako zenbaki-sistemak erabili zituzten, hala nola 5, 8, 12, 20 edo 60.

log_e da logaritmo "arrunta" matematiketan gehiagotan agertzen baita. Gainera, operazio batzuetan berez agertzen da logaritmo hau; funtzio logaritmikoa deribatzean adibidez:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\ln(b)}}\ln {x}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(b)}}$

Gainera, b oinarria e zenbakia bada, orduan deribatua 1/x da. Bestalde, e oinarriko logaritmoa "naturalena" izateko beste arrazoi bat, integral baten edo Taylorren serie baten bidez erraz definitu daitekeela da, eta hau ez litzake hain erraza izango beste oinarri batekin.

Kalkulutik kanpo badaude beste arrazoi pare bat hura "natural" izenaz ezagutzeko. Hala nola, badaude serie arrunt batzuk logaritmo arruntarekin erlazionatuak. Gainera, Pietro Mengoli eta Nicholas Mercatorrek logarithmus naturalis deitu zuten Newton eta Leibnizek kalkulua garatu baino hamarkada batzuk lehenago.

Definizioa

Normalean ln(x)-ren balioa f(t) = 1/t kurbaren (1,x) tarteko azalera bezala irudikatzen da. x<1 bada, (x,1) tarteko azaleraren zeinua aldatzen da.

ln(x) funtzioa balio erreal positiboetarako dago definituta, 1/t funtzioaren 1 eta x arteko azalera bezala. Azalera hau integral baten emaitza da:

ln: R⁺→R honela definitzen da:

$\ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,$

Definizio honen bidez berehala ikus daiteke funtzio hau logaritmoen funtzezko propietatea betetzen duela:

$\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)$

Froga

Bi zenbaki positiboen logaritmoa: $\ln(x\cdot y)=\int _{1}^{x\cdot y}{\frac {dt}{t}}$ Orain bitan deskonposatu daiteke eta kalkuloaren bigarren oinarrizko teorema erabili: $\ln(x\cdot y)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{x\cdot y}{\frac {dt}{t}}$ Eta bigarren integralan s=t/x aldagai aldaketaren bidez emaitza lortzen da: $\ln(x\cdot y)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+\int _{1}^{y}{\frac {ds}{s}}=\ln(x)+\ln(y)$

Gainera, e zenbakia erabiliz funtzioak 1 balio du. Beraz, ln logaritmoa e oinarriko logaritmoa da, hau da, e^x funtzioaren alderantzizkoa.

Propietateak

Logaritmo naturalak logaritmoen propietate orokorrak betetzen ditu, baita identitate logaritmikoak ere. Propietate orokorretaz gain hurrengo propietateak aipagarriak dira:

• $\ln(1)=0\,$

• $\ln(-1)=i\pi \quad \,$(ikusi logaritmo konplexua)

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {para}}\quad 0<x<y\;$

• ${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {para}}\quad h>-1\;$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$

Deribatua, Taylorren seriea

ln(1 + x) funtziorako Taylorren polinomioak bakarrik −1 < x ≤ 1 tartean egiten dituzte hurbilketa zehatzak. Ikus daiteke x > 1 denean maila handiko Taylorren polinomioen hurbilketak oso txarrak direla.

Logaritmo naturalaren deribatua honako hau da:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

Logaritmo naturala haren definizio-eremuko puntu baten zentratutako Taylorren serie baten bidez adierazi daiteke. x=0 puntuan deribatua existitzen ez denez, haren Taylor seriea batean zentratzen da orokorrean, gero aldagai aldaketa baten bidez zeron zentratzeko. Horrela logaritmo naturalaren Taylorren seriea lortzen da:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ para }}-1<x\leq 1$

Serie hau Mercatorren seriea deitzen da.

Funtzio identitatea erabiliz

$\ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right){\text{ , }}x>0{\text{ denean}}$

eta ${\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$ arkutangente hiperbolikoaren Taylorren seriean ordezkatuz hurrengo seriea lortzen da, konbergentzia azkarragokoa:

$\ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1}{\text{ , }}x>0{\text{ denerako}}$

Taylor serieari transformazio binomiko bat aplikatuz bigarren serie hau lortzen da, |x|>1 denerako:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots$

Ikusi daiteke $x \over {x-1}$ bere buruaren alderantzizkoa da, eta ondorioz y zenbaki baten logaritmo naturala lortzeko nahiko da $y \over {y-1}$ jartzea x-ren truke.

Integrala

Logaritmo naturalari esker g(x) = f'(x)/f(x) erako funtzioak erraz integratu daitezke, katearen erregela eta hurrengo berdintza direla eta:

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

Beste era batera esanda,

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

Honela ere bai adierazi daiteke,

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Adibidez, ikusi g(x) = tan(x) funtzioaren integrazioa:

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

f(x) = cos(x) eta f'(x)= – sin(x) hartuz:

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

non C integralaren konstante bat den.

Logaritmo naturala zatikako integrazioaren bidez integratu daiteke:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Bibliografia

• "Cálculus" (Volume I). Tom M. Apostol. Bigarren edizioa, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1

Ikus, gainera

• Logaritmo
• Logaritmo konplexu
• Logaritmo nepertar
• e zenbakia
• Funtzio esponentzial

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Natural Logarithm" MathWorld-en.

• Datuak: Q204037