Logaritma asli

Dalam bidang matematik, logaritma asli ialah logaritma asas $e$ , di mana $e$ ialah pemalar bukan nisbah dengan anggaran nilai 2.718 281 828. Logaritma asli lazimnya ditulis $\ln(x)$ , $\log _{e}(x)$ atau kadang-kadang, jika asas $e$ adalah implisit, sekadar $\log(x)$ .

Logaritma asli bagi sebarang nombor $x$ (ditulis $\ln(x)$ ) ialah nombor kuasa bagi $e$ untuk memperoleh $x$ . Sebagai contoh, $\ln(7.389...)$ sama dengan 2, kerana $e^{2}=7.389...$ . Logaritma asli bagi $e$ itu sendiri ( $\ln(e)$ ) ialah 1 kerana $e^{1}=e$ , manakala logaritma asli bagi 1 ( $\ln(1)$ ) ialah 0, kerana $e^{0}=1$ .

Takrif

Takrif logaritma asli secara formal ialah luas di bawah graf ${\frac {1}{x}}$ dari 1 ke $a$ , iaitu kamiran,

\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

Ini adalah takrif logaritma kerana mematuhi sfat asas logaritma:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!

Ini boleh ditunjukkan dengan mengandaikan $t={\tfrac {x}{a}}$ seperti berikut:

\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)

Nombor $e$ ditakrifkan sebagai suatu nombor nyata unik di mana $\ln(a)=1$ .

Secara alternatif, jika fungsi eksponen telah ditakrifkan terlebih dahulu menggunakan siri tak terhingga, logaritma asli boleh ditakrifkan sebagai fungsi songsangnya, iaitu ln ialah fungsi di mana $e^{\ln(x)}=x\!$ . Oleh kerana julat fungsi eksponen bagi argumen-argumen nyata ialah semua nombor nyata positif, dan fungsi eksponen meningkat secara khusus, yang demikian adalah tertakrif rapi bagi semua $x$ yang positif.