מרחב הסתברות

מרחב הסתברות בתורת ההסתברות הוא שלשה $(\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )$ שאיבריה הם מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה ומידת הסתברות. לפי האקסיומטיקה שהציע אנדריי קולמוגורוב, דורשים מרכיבי השלשה לקיים את הדרישות הבאות:

• מרחב המדגם $\Omega$: קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי. מרחב המדגם יכול להיות סופי, כמו בדוגמת הקובייה להלן, או אינסופי, כמו בדוגמה של בחירת מספר ממשי להלן. על אף שבהטלת קובייה אוסף התצפיות האפשרי נראה ברור מאליו, יש למרחב המדגם חשיבות בעריכת ניסויים מסובכים יותר. לרוב, חוקר ייקח את מרחב המדגם ויחלק אותו לקבוצות על מנת להסיק מסקנות כלשהן.
• ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ היא סיגמא-אלגברה של $\Omega$, ומהווה את אוסף תת-הקבוצות שאפשר לחשב את הסתברותן ("מאורעות").
• מידת הסתברות $\Pr$: הפונקציה $\Pr$ היא פונקציית מידה משדה המאורעות ${\mathcal {F}}$ אל המידה $[0,1]$, שמקיימת $P_{r}(\Omega )=1$.

במונחים של תורת המידה, ניתן להגדיר מרחב הסתברות בפשטות כמרחב מידה שבו מידת המרחב כולו היא 1 (כלומר $P_{r}(\Omega )=1$ בסימונים שלעיל).

דוגמאות

• הטלת קובייה הגונה בעלת 6 פאות:

• מרחב המדגם $\Omega$ הוא $\{1,2,3,4,5,6\}$.

דוגמה למאורע: "תוצאת הקוביה היא $2$ או $6$" (הסתברותו היא $1/3$). הקבוצה $1/7$ אינה מאורע במרחב, למשל, שכן אינה תת-קבוצה של $\Omega$.

• בחירת מספר ממשי בין $1$ ל-$100$:

• מרחב המדגם $\Omega$ הוא קבוצת כל המספרים הממשיים בין $1$ ל-$100$.

אלגברת המאורעות הסטנדרטית במקרה זה היא אלגברת בורל.

ראו גם

• אקסיומות ההסתברות

קישורים חיצוניים

• מרחב הסתברות, באתר MathWorld (באנגלית)
• אמצעי הסתברות, דף שער בספרייה הלאומית