ალბათური განაწილების ფუნქცია

ალბათობის თეორიაში ალბათური განაწილების ფუნქცია (იგივე განაწილების ფუნქცია ან კუმულატიური განაწილების ფუნქცია) წარმოადგენს ფუნქციას, რომლის მნიშვნელობაც ყოველ x წერტილში არის ალბათობა იმისა, რომ ამ განაწილების ფუნქციის შესაბამისი შემთხვევითი სიდიდე მიიღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას.

განსაზღვრება

ვთქვათ, მოცემულია ალბათური სივრცე $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ მასზე განსაზღვრული შემთხვევით სიდიდით $\displaystyle X$ და განაწილებით $\mathbb {P} _{X}$ . $\displaystyle X$ შემთხვევითი სიდიდის განაწილების ფუნქცია ვუწოდოთ ფუნქციას $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ , რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} _{X}\left((-\infty ,x]\right)

.

ანუ, განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში $x$ წარმოადგენს ალბათობას ხდომილებისა $\{\omega :X(\omega )\leqslant x\}$ .

აღსანიშნავია, რომ ზოგჯერ განაწილების ფუნქციას განსაზღვრავენ შემდეგნაირად:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} _{X}\left((-\infty ,x)\right)

.

თვისობრივი განსხვავება ამ ორ განმარტებას შორის არ არის; მეორენაირად განმარტებული განაწილების ფუნქცია მარცხნიდან უწყვეტია (ნაცვლად მარჯვნიდან უწყვეტისა).

თვისებები

განაწილების ფუნქციას ოთხი ძირითადი თვისება გააჩნია:

$\displaystyle F_{X}$ უწყვეტია მარჯვნიდან:
$\lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)$
$\displaystyle F_{X}$ არაკლებადია მთელ ღერძზე.
$\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ .
$\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$ .

შემთხვევითი სიდიდის განაწილება $\mathbb {P} _{X}$ ცალსახად განსაზღვრავს განაწილების ფუნქციას. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ ფუნქცია $F(x)$ აკმაყოფილებს ზემოთ მოყვანილ ოთხ თვისებას, მაშინ არსებობს ალბათური სივრცე და მასზე განსაზღვრული ისეთი შემთხვევითი სიდიდე, რომ $F(x)$ მის განაწილების ფუნქციას წარმოადგენს.

მარჯვნიდან უწყვეტობის თვისების ძალით განაწილების ფუნქციას ყოველთვის გააჩნია მარჯვენა ზღვარი $F_{X}(x+)$ და ის ემთხვევა $F_{X}(x)$ -ს ყოველი $x\in \mathbb {R}$ . არაკლებადობის თვისება კი უზრუნველყოფს $F_{X}(x-)$ ზღვრის არსებობას, თუმცა არაა აუცილებელი, რომ ეს უკანასკნელი ემთხვეოდეს ფუნქციის მნიშვნელობას $x$ წერტილში. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი $x\in \mathbb {R}$ წერტილისთვის $F_{X}$ ან უწყვეტია, ან გააჩნია პირველი გვარის წყვეტა.

კავშირი ალბათობასთან

ალბათობის თვისებებიდან გამომდინარე, $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$ , თუ $\displaystyle a<b$ , სამართლიანია შემდეგი ტოლობები: